Puzzle of the week, e il divertimento è assicurato

Di puzzle of the week (problema della settimana) sul web se ne trovano diversi, per ogni tipo di preferenze e di preparazione matematica. Si va dal Friday Puzzle (se ne era già scritto qui un po’ di tempo fa), al Progetto Euler passando per Puzzleoftheweek.com. Vediamo caratteristiche e modalità di partecipazione di alcune di queste sfide.

Friday Puzzle

Dove: su Twitter (twitter.com/10ticks).
Quando: un nuovo problema è postato ogni venerdì, nel corso del mattino. Gli ultimi problemi sono anche riportati nella pagina www.10ticks.co.uk/FridayPuzzle.
Dinamica: il puzzle of the week è postato dal prof britannico Ian Fisher, si risponde via tweet (quindi al massimo in 280 caratteri (e fino a qualche mese fa era ancora peggio, con il limite dei 140). Nel giro di qualche minuto arriva il tweet di risposta, con l’approvazione o il ritenta ancora da parte di 10ticks.
I primi 5 risolutori meritano la menzione di #FridayPuzzle winners della settimana.
Suggerimento: cominciare il tweet con la risposta secca, a seguire eventuali dettagli su come ci si è arrivati.
Difficoltà: il problema è in genere ragionevolmente semplice, si dovrebbe poter rispondere senza calcolatrici, programmazioni o fogli excel. Tempi e modalità di interazione sono compatibili con una pausa caffè.
Destinatari: non c’è restrizione ed è un buon punto di partenza per mettersi in gioco o anche solo per mantenersi allenati.
Attenzione però a comprendere bene il problema: con il caffè in una mano e lo smartphone nell’altra mi è capitato a volte di capire fischi per fiaschi.
Pro e contro: è una gara con se stessi, se si vuol barare leggendo subito la risposta degli altri, si può. Suggerisco comunque, dopo aver provato ed eventualmente risolto, di verificare come hanno risposto gli altri, si scoprono spesso percorsi mentali alternativi.
Esempio recente:

Ancora dall’UK, puzzleoftheweek.com

Dove: sito web puzzleoftheweek.com.
Quando: ogni lunedì, durante l’anno scolastico.
Dinamica: ogni scuola, di qualunque paese nel mondo, può registrarsi e partecipare. Sul sito viene mantenuta una classifica delle varie scuole. Gli insegnanti delle scuole partecipanti sono incoraggiati a gestire classifiche e premi per il proprio istituto.
Difficoltà: meglio non farsi ingannare dal livello scolastico destinatario della competizione, medie e liceo sono sepolte nel nostro passato, probabilmente insieme a buona parte della matematica con cui siamo stati a contatto. Ergo, vietato abbattersi se non si cava un ragno dal buco.
Destinatari: studenti fine medie – liceo.
Pro e contro: i puzzle of the week sono ragionevolmente semplici e offrono buoni agganci ai prof. per sviluppare argomenti curricolari. Ma anche chi è fuori dalla scuola da un po’ può ritrovarsi a spolverare ricordi interessanti.
Esempio recente:

Ci sono due vie per risolvere il problema. La prima è seguire materialmente le istruzioni e fermarsi al centesimo numero. La seconda si può intraprendere dopo pochi passi, osservando che i numeri che si aggiungono via via sono sempre gli stessi, in ciclo. E da qui, il prof. può mostrare come questo quesito sia uno stretto parente dell’algoritmo di Euclide per il calcolo del Massimo Comun Divisore.

Break

C’è una bella relazione tra MCD (massimo comun divisore) e il mcm (minimo comune multiplo) di scolastica memoria. Sorprende che non sia citata a scuola (per quanto ne so).
Il MCD tra due numeri a e b è il più grande numero che divide sia a che b, mentre il mcm tra gli stessi due numeri è il più piccolo numero che è diviso da a e da b. Vale la seguente relazione:

a × b = MCD(a,b) × mcm(a,b)

Un semplice diagramma di Venn dei fattori primi dei due numeri a e b aiuta a capire perché.

C’era una volta l’Olemiss math contest

Fina ad alcuni anni fa passavo di tanto in tanto per i puzzle of the week pubblicati dall’OleMiss (Università del Mississippi).
Ho un vago ricordo del fatto che il contest, a un certo punto, sia stato chiuso ed è rimasto sepolto nei ricordi fino a qualche settimana fa, quando un’email da mathcontest@olemiss.edu mi ha informato del ritorno on-line:

Hi Math Enthusiast,

We just wanted you to know that The Math Contest is back online with a new contest and new website located at themathcontest.com
Come join the fun and get your name on the leaderboard!
Visit themathcontest.com and answer this week’s challenge.

Sincerely,
The Math Contest Team

Del sito precedente non ho conservato l’url. Una breve indagine via archive.org mi ha portato a questa pagina del 2010. L’url è della Columbus State University, ma la pagina e qualche partecipante al contest mi tornano familiari.

Themathcontest.com, una gara vera, con punti e classifiche

Dove: sul sito themathcontest.com.
Quando: un nuovo puzzle of the week viene postato ogni lunedì, alle 8 del mattino ora centrale statunitense (15 ora italiana).
Dinamica: si ha tempo una settimana per rispondere al problema. Il più veloce a rispondere guadagna 10 punti, dal secondo al quinto posto si hanno 9 punti e poi via via, fino a un solo punto dal duecentesimo risolutore e oltre.
Chi risponde fuori tempo massimo sa comunque se la sua risposta è corretta o meno, ma non guadagna punti.
Difficoltà: Il contest è ripartito ad aprile, quindi ci sono pochi problemi su cui ragionare. Per adesso la difficoltà sembra moderata. Conta invece molto la velocità nel rispondere, occorrerebbe caricare una sveglia per ogni lunedì alle 15.
Destinatari: Math Enthusiasts da tutto il mondo.
Pro e contro: la competizione prevale sulla sfida personale, difficile che si trovino problemi che stimolino la curiosità o sorprendano, come era con il contest degli anni scorsi.
Esempio recente: fresco fresco, il problema dello scorso lunedì, di cui mi sono ricordato solo venerdì (ergo, solo 4 punti portati a casa).

What is the millionth term in the sequence 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, . . . ?

Non è complicatissimo, la sequenza ha 1 termine “1”, 2 termini “2”, 3 termini “3” e così via. Quindi, ad esempio, una volta scritti tutti i termini fino al 6, si avranno: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 termini.
La somma indicata è pari a S₆ = 6 × 7 ⁄ 2 = 21 termini, grazie alla formula di Gauss (vedi post su Gauss).
Quello che si cerca è il termine n, tale per cui S_n-1 è minore di 1.000.000 e S_n è maggiore di 1.000.000.

Piccola polemica

Come detto non è che questo nuovo contest mi entusiasmi, la sensazione è che si privilegi il senso della competizione. Stando così le cose, dispiace essere stato avvertito dell’inizio del contest dopo che tre problemi erano già andati (piccola polemica aperta e chiusa).

Un po’ più divertente (ma senza esagerare) è il puzzle of the week del lunedì precedente:

Find the sum of the following expression: 376² – 375² + 374² – 373² + . . . + 2² – 1²

Per risolvere basta rispolverare i prodotti notevoli delle medie e, ancora, la formula di Gauss per la somma dei numeri consecutivi.

La sfida finale, il Project Euler (anche se non è esattamente un puzzle of the week)

Dove: sulla pagina web projecteuler.net.
Quando: non c’è una cadenza settimanale, il sito è più che altro un archivio che si arricchisce via via.
Dinamica: l’archivio si può navigare ordinando i problemi per ordine cronologico di posting, per difficoltà, per numero di risposte esatte collezionate. Una volta registrati si può proporre la soluzione al problema desiderato e si sa subito se la risposta data è esatta. Se lo è, si ha accesso al forum dei solutori del singolo problema, scoprendo così altri modi per arrivare alla risposta giusta.
Difficoltà: si va da problemi abbastanza semplici (livello base, 5% di difficoltà) a problemi decisamente complessi, di difficoltà classificata 100%, fuori dalla portata del semplice Math Enthusiast.
Destinatari: chiunque abbia voglia di registrarsi e cimentarsi, fortemente consigliata una ragionevole abilità di programmazione.
Pro e contro: l’idea del forum è eccellente, ragionevole abilitarne l’accesso solo dopo aver risolto il problema in oggetto.
Esempio: qualche giorno fa ho affrontato il problema n.ro 89, difficoltà 20%, la maggiore che ho affrontato finora. In sintesi:

nel file p089_roman.txt sono elencati dei numeri scritti con il sistema di numerazione romano. Quanti caratteri si risparmierebbero scrivendo ciascun numero in forma compatta?

Un esempio: il numero MMMMCMLXXXXVIII è pari a 4998, la cui forma romana compatta è MMMMCMXCVIII.

Il sistema di numerazione romano e il pc

Mai più mi sarei aspettato di scrivere un programma per tradurre da sistema romano a sistema decimale e viceversa. L’approccio al problema che mi è venuto in mente prevede però proprio questo:

converto in notazione decimale ogni numero contenuto nel file di partenza;
poi converto questo numero decimale in numerazione romana compatta;
la differenza in lunghezza tra la stringa di partenza e quella di arrivo contribuisce alla risposta finale.

Da sistema romano a sistema decimale

Non so più in quale passaggio scolastico ho imparato il sistema di numerazione romano. Il codice Ruby per la conversione vale più di qualunque descrizione verbale:

# converti da numero romano a numero decimale
     somma, precedente = 0, 0
     romano.chars.each do |elem|
         case elem
             when "M"
                n = 1000
             when "D"
                n = 500
             when "C"
                n = 100
             when "L"
                n = 50
             when "X"
                n = 10
             when "V"
                n = 5
             when "I"
                n = 1
             else n = 0
         end
         somma += n
         if precedente < n then somma -= 2 * precedente end
         precedente = n
     end
     print " --> ", somma

La variabile precedente serve a memorizzare il carattere precedente nella stringa dell’espressione romana, per poterne correttamente valutare il peso. Esempio: il carattere “I” vale -1 se precede un segno di valore maggiore. Quindi vale -1 in “IV” = 4 e 1 in “VI” = 6.

Il programma completo può essere scaricato qui, con il file testo che ne dettaglia l’elaborazione.

Quelli riportati sono solo esempi, una ricerca su Google di “math puzzle of the week” tira fuori diversi siti, per lo più universitari statunitensi, che propongono problemi di difficoltà varia, con differenti dinamiche per proporre la soluzione.
Peccato non averne ancora trovato uno in lingua italiana!