La curva dei fiocchi di neve fa parte della categoria di curve che il matematico francese di origine polacca Benoît Mandelbrot (il papà dei frattali) definì mostruose.
La proprietà di queste curve è quella di snodarsi su un’area limitata, ma di avere una lunghezza illimitata.
Anche detta curva di Koch, la curva dei fiocchi di neve fa buona compagnia a quella ideata dal matematico e logico cuneese Peano.
La curva dei fiocchi di neve
Se c’è chi, come Simon Beck usa la neve come fosse una tela, è possibile anche provare a disegnare fiocchi di neve utilizzando procedimenti matematici. Come farlo lo spiegò nel 1904 lo svedese Helge von Koch, quando pubblicò un lavoro su una strana curva che aveva ideato e che aveva caratteristiche frattali.
Per generare la curva di Koch si parte da un triangolo equilatero. Si divida ora ogni lato in tre parti uguali, e si elimini ciascun pezzo centrale costruendo un triangolo equilatero rivolto verso l’esterno. Al primo passaggio si ottiene una stella a sei punte.
Continuando il procedimento, il contorno che va a delinearsi si allontana sempre più da quello del triangolo originario, per somigliare al contorno di un fiocco di neve.
La curva è autosomigliante, nel senso che ingrandendola rimane simile a se stessa, caratteristica questa delle curve frattali. La caratteristica sorprendente di questa curva è che ha un perimetro illimitato che racchiude un’area limitata. Vediamo come si arriva a dimostrarlo.
Costruiamo la curva di Koch
Per semplicità riferiamo il perimetro e l’area della figura a perimetro e area del triangolo originario.
A ciascun passaggio della costruzione, ogni lato della figura viene diviso in tre parti uguali, e sul pezzo centrale viene costruito un triangolo equilatero.
Quindi ogni lato viene sostituito da quattro lati, ciascuno di lunghezza pari a un terzo del lato di partenza. Ne segue che il perimetro, a ogni singolo passaggio della costruzione, viene moltiplicato per 4 ⁄ 3.
Basterà allora procedere per un numero sufficiente di passi, perché il perimetro del fiocco di neve superi qualunque dimensione fissata.
Ad esempio, per superare un perimetro pari a 1.000.000 di volte quello del triangolo originario, basterà eseguire un numero di passi n tale che:
( 4 /3 )n > 1.000.000, vale a dire n > 48
Il perimetro che racchiude il fiocco di neve di Koch è quindi illimitato.
E l’area?
Ad ogni passaggio della costruzione si aggiunge, su ciascun lato esistente, un piccolo triangolo equilatero, il cui lato è pari a 1⁄3 del lato all’iterazione precedente. L’area del triangolo che viene aggiunto è pari allora a 1/9 di quella dei triangoli aggiunti al passaggio precedente, e il numero di triangoli aggiunti è pari a quattro volte quelli inseriti al passaggio precedente.
L’area racchiusa dal fiocco di neve di Koch, riferita all’area del triangolo di partenza, si può esprimere quindi mediante una serie:
Area = 1 + 3 × 1 ⁄ 9 + 12 × 1 ⁄ 81 + 48 × 1 ⁄ 243 + … =
= 1 + 3 × 1 ⁄ 9 × ( 1 + 4 ⁄ 9 + 16 ⁄ 81 + … )
Ora, la serie tra parentesi ha la forma:
1 + x + x2 + x3 + … , con x = 4 ⁄ 9
Quindi, al procedere dei passi della costruzione, la sua somma tende a:
1 ⁄ ( 1 – x )
vale a dire : 1 ⁄ ( 1 – 4 ⁄ 9) = 9 ⁄ 5
E, infine:
Area = 1 + 1 ⁄ 3 × 9 ⁄ 5 = 1 + 3 ⁄ 5 = 8 ⁄ 5
Quindi, passaggio dopo passaggio, mentre il perimetro del fiocco si allunga senza limite, l’area si avvicina sempre più al valore di 8/5 dell’area del triangolo iniziale.
Giuseppe Peano e un’altra curva mostruosa
Contrariamente alla curva di Koch, quella di Peano è aperta, quindi non racchiude un’area, ma la sua lunghezza cresce ogni limite, avendo la pazienza di eseguire un numero sufficiente di passaggi.
La regola per costruirla è semplice: a ogni passaggio ciascuna griglia di 2 × 2 quadratini viene trasformata in griglia 4 × 4, la “U” viene opportunamente rimpicciolita e riprodotta in ciascuna delle celle 2 × 2 e, infine, le quattro “U” vengono unite.
La proprietà mostruosa della curva di Peano è che, iterazione dopo iterazione, riempie completamente il quadrato, dal momento che passerà per qualunque punto del quadrato stesso.
Peano ideò la sua curva nel 1890, prima cioè che Koch pubblicasse la sua creatura. Se vi capitasse di passare da Cuneo, vale la pena di dare un’occhiata al monumento eretto a memoria di Peano e della sua curva. E se proprio non avete in piano a breve questa visita, potete sempre approfittare di Google Streetview (il monumento è quella specie di sasso ovale nell’aiuola).
Il triangolo di Sierpinski
Un’altra mostruosità ricorsiva si deve al matematico polacco Wacław Sierpiński.
Si parte anche in questo caso da un triangolo equilatero, ma questa volta si lavora di cesello. Ad ogni giro si divide ogni triangolo pieno in quattro triangoli equilateri e si elimina quello interno.
Il triangolo, iterazione dopo iterazione, mentre si arricchisce di intagli, si svuota e la sua area tende a zero.
Per chi fosse alle prese con le decorazioni natalizie c’è in realtà una strada più semplice per farsi in casa dei fiocchi di neve di carta, senza ricorrere alle mostruosità di Koch e Peano, ma semplicemente usando carta e forbici.
Al solito, basta chiedere a Google. Si può provare ad esempio con “fiocchi di neve con la carta“. E, in caso di estrema pigrizia, c’è anche “modelli fiocchi di neve da ritagliare“, ma è decisamente meno divertente e creativo.
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Mi chiamo Pasquale Petrosino, radici campane, da alcuni anni sulle rive del lago di Lecco, dopo aver lungamente vissuto a Ivrea.
Ho attraversato 40 anni di tecnologia informatica, da quando progettavo hardware maneggiando i primi microprocessori, la memoria si misurava in kByte, e Ethernet era una novità fresca fresca, fino alla comparsa ed esplosione di Internet.
Tre passioni: la Tecnologia, la Matematica per diletto e le mie tre donne: la piccola Luna, Orsella e Valentina.
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