problema di Basilea: l'infinità dei numeri

Risolvere il problema di Basilea fu probabilmente il primo colpo di genio del matematico svizzero Eulero. La questione era stata posta nel 1644 dal matematico bolognese Pietro Mengoli, e aveva resistito a quasi un secolo di attacchi da parte dei migliori esperti. Nel 1735 il ventottenne Eulero ne annunciò la risoluzione, semplice e sorprendente, ai confini con la magia.
Ci sono ancora questioni aperte, legate al problema di Basilea, come questa: trovare una forma chiusa per la costante di Apéry. Ha senso per un dilettante provare a risolverla? La risposta è sì, se il divertimento sta nel viaggio e non è riposto solo nella destinazione.


Il problema di Basilea

La domanda posta da Mengoli è molto semplice: trovare una forma chiusa per la somma infinita dei reciproci dei quadrati dei numeri naturali:

S = 1 + 1 ⁄ 22 + 1 ⁄ 32 + 1 ⁄ 42 + …

Per forma chiusa si intende un’espressione matematica che contenga un numero limitato di costanti e funzioni note, e operatori quali le quattro operazioni, l’elevamento a potenza. Il valore numerico della somma, invece, si può ovviamente approssimare quanto si vuole, sommando un congruo numero di termini.

Il problema aveva resistito all’attacco, tra gli altri, di Daniel Bernoulli e prima ancora di suo padre Johann. La famiglia Bernoulli era di origine belga, ma aveva trovato rifugio a Basilea, in Svizzera, all’epoca della persecuzione degli Ugonotti da parte dei cattolici. Proprio a Basilea era nato e viveva anche Eulero. Da qui il nome del problema.

La risoluzione di Eulero

Eulero era partito dallo sviluppo in serie della funzione trigonometrica sin(x):

sin(x) = x – x3  ⁄  3! + x5 ⁄  5! – …

Dopo aver diviso entrambi i membri per x, aveva considerato l’espressione risultante come un’equazione nella variabile z = x2, che si azzera infinite volte per i valori in cui si azzera sin(x), cioè per z = π2, (2π)2, (3π)2, …

0 = 1 – z  ⁄  3! + z2  ⁄  5! . …

Qui sta il colpo di magia di Eulero: anche se in modo non ortodosso, trattò un’equazione di grado infinito come una normale equazione polinomiale in cui, se il termine noto è pari a 1, allora il coefficiente del termine di primo grado è uguale alla somma (infinita) dei reciproci delle radici dell’equazione.

Da qui il risultato: S = π2  ⁄  6.

Ci vollero in realtà ancora 6 anni perché Eulero dimostrasse nel 1741 il suo risultato in modo rigoroso, ma il colpaccio era fatto! Successivamente il matematico svizzero estese il suo risultato alla somma dei reciproci delle potenze pari dei numeri naturali, fino alla 26a.

Oggi esiste una formula generale per tutte le potenze pari, mentre il problema è ancora insoluto per quelle dispari, a partire dal cubo. La costante:

A = 1 + 1 ⁄ 23 + 1 ⁄ 33 + 1 ⁄ 43 + … = 1,2020569031…

prende il nome dal matematico francese Roger Apéry, che nel 1979 ha dimostrato che è un numero irrazionale, cioè che non può essere espresso come una frazione. Se la costante di Apéry sia in relazione con π, e più in generale se esista una formula chiusa per esprimerlo, è ancora un problema aperto.

Apèry morì di Parkinson nel 1994. Sulla sua tomba, è incisa la sua scoperta:

Il fascino dei problemi insoluti

Cosa attrae un appassionato di matematica dilettante verso un problema che nessuno ha ancora risolto?
Sicuramente la questione deve essere posta in termini semplici, facilmente comprensibili, e dare l’aria di poter essere attaccata con strumenti alla propria portata. Poi deve resistere agli attacchi, consentendo però scoperte interessanti lungo gli infruttuosi tentativi di risoluzione. Il problema di Basilea e la forma chiusa per la costante di Apéry ne sono un ottimo esempio.

La probabilità di successo completo è prossima allo zero, dovendosi realizzare un’incredibile coincidenza:

  1. un metodo per risolvere il problema deve esistere ed essere alla propria (limitata) portata;
  2. questo metodo deve essere sfuggito a secoli di tentativi da parte dei migliori esperti del campo;
  3. bisogna essere tanto fortunati da formulare il ragionamento giusto per arrivarci.

Fare 6 al superenalotto è sicuramente più probabile, visto che ogni tanto c’è qualcuno che lo realizza!

I ragionamenti che via via si formuleranno, quindi, porteranno quasi certamente in vicoli ciechi. Ma quello che si troverà lungo il viaggio, anche se si tratterà della riscoperta di risultati noti, sarà comunque frutto della propria mente. Una soddisfazione intensa, con pochi eguali. Provare per credere.

Quattro problemi con cui giocare

Questo della formula chiusa per la costante di Apery è uno dei quattro problemi insoluti che mi sono rimasti attaccati dai tempi del biennio al Politecnico:

  1. la congettura di Collatz;
  2. le congetture di Erdős e Sierpiński;
  3. la congettura di Goldbach;
  4. formula chiusa per la costante di Apéry.

Come si approccia un problema insoluto?

Non c’è una best practice da suggerire, naturalmente, ognuno mette in campo gli strumenti, il tempo e la passione che ha.

Indispensabile avere qualche capacità di programmazione e di calcolo. Quindi Libre Calc (o Excel) e qualcosa coma Ruby, Ubasic o il linguaggio che vi piace.
Nel caso del problema di Basilea e della costante di Apéry, poi, sicuramente serve saper maneggiare le serie infinite, almeno il minimo necessario per muovere qualche passo.

Bestie interessanti, le serie infinite

Interessanti ed estremamente varie.
Ci sono serie la cui somma diverge, cioè è maggiore di qualunque numero finito immaginabile. Un esempio classico:

1 + 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 3 + 1 ⁄ 4 + 1 ⁄ 5 + …

Si tratta della famosa serie armonica. La dimostrazione della sua divergenza è altrettanto famosa e si trova all’inizio di questo bell’articolo sul blog di Le Scienze.

Più interessanti le serie che convergono. Una classica è questa:

1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 6 + 1 ⁄ 12 + 1 ⁄ 20 + …

In cui il termine generico è pari a 1 ⁄ (n(n+1)).
La serie prende il nome dal matematico Mengoli (che abbiamo incontrato all’inizio dell’articolo), ed è il più semplice caso di serie telescopica, in cui, cioè, i termini si elidono a vicenda e ne rimangono al più una manciata, con cui calcolare la somma della serie. Come in un telescopio che, da completamente esteso, si contrae chiudendolo.

Nel caso della serie di Mengoli:

primo termine: 1 ⁄ 2 = 1 – 1 ⁄ 2,
secondo termine: 1 ⁄ 6 = 1 ⁄ 2 – 1 ⁄ 3,
terzo termine: 1 ⁄ 12 = 1 ⁄ 3 – 1 ⁄ 4,
quarto termine: 1 ⁄ 20 = 1 ⁄ 4 – 1 ⁄ 5,

Sommando i secondi membri delle uguaglianze, rimane in piedi solo il termine 1, che è la somma della serie.

Più in generale, occorre qualche ricordo degli esami di Analisi dei primi anni di Ingegneria o di Matematica, rispolverare Maclaurin, Taylor, Fourier. Frugare bene nella cantina reale (sotto casa) e in quella virtuale (nella capoccia).


Diari di viaggio

Selezionati in modo inconsapevole, per ciascuno dei quattro problemi con cui gioco di tanto in tanto per rilassare la mente, ho da parte qualche appunto, qualcosa che ho trovato interessante e annotato mentre ero in vacanza o in qualche fine settimana piovoso, e da cui ripartire alla prossima parentesi di relax.
Giocando con la costante di Apéry, in particolare, anni fa mi è capitato di trovare un semplice algoritmo generalizzato per accelerare la convergenza nel calcolo della somma di serie infinite. Non ne ho trovato traccia sul web, probabilmente perché di algoritmi di accelerazione ne esistono di efficacia incomparabilmente maggiore, ma, ragazzi, è MIO! L’ho trovato io! E, anche se alla sua applicabilità devo ancora dare una base rigorosa, funziona!
Ne parlerò nel prossimo post.

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