Approximation Day

Lunedì 22 Luglio è l’Approximation Day di quest’anno, giornata dedicata al Pi Greco nei Paesi, come l’Italia, in cui le date vengono riferite con il formato giorno-mese-anno (22/7 ≅ π = 3.14159…).
Negli Stati Uniti, dove vige il formato mese-giorno-anno, invece, la giornata del Pi Greco è il Pi Day del 14 Marzo (3/14).
Certamente meno noto e meno celebrato, l’Approximation Day avrebbe un bacino potenzialmente molto più ampio, rispetto al Pi Day. A favore di quest’ultimo giocano probabilmente due fattori. Il primo: ha l’opportunità di essere attivamente celebrato in tutto l’emisfero Nord, dove in Marzo si è in pieno anno scolastico. Inoltre il Pi Day, nato negli Stati Uniti nel 1988, è di più lunga tradizione, mentre l’Approximation Day è stato introdotto solo successivamente.


Approximation Day: perché il 22 Luglio

La frazione 22/7 = 3,142857… è una delle più antiche, semplici e precise approssimazioni di Pi Greco utilizzate dall’uomo, scostandosi dello 0,04% dal valore corretto.
Pi Greco è infatti un numero irrazionale, anzi trascendente, vale a dire che, oltre ad avere infinite cifre che non si ripetono, non è esprimibile come soluzione di un’equazione polinomiale. Una conseguenza più comprensibile dell’essere trascendente è che un segmento di lunghezza Pi Greco non è costruibile con riga e compasso, strumenti della geometria degli antichi greci.

Se, da un lato, il tentativo di rettificare la circonferenza, uno dei temi centrali che hanno accompagnato la nascita della geometria, è stato per forza di cose senza successo, dall’altro ha consentito di sviluppare idee e approcci nuovi, che hanno portato, tra l’altro, a determinare valori approssimati per Pi Greco.
Si deve ad Archimede la dimostrazione che il valore di Pi Greco è compreso tra 223/71 e 22/7.

Quest’ultimo valore, 22/7 è leggibile anche come una data, il 22 Luglio. Da qui la sua indicazione come giornata di celebrazione del Pi Greco.

Ma negli Stati Uniti Pi Greco si celebra il 14 Marzo

Mentre l’Italia utilizza per le date la convenzione giorno-mese-anno, negli US le date vengono indicate con la convenzione mese-giorno-anno.
Questo porta a individuare il 14 Marzo, 3-14, come scelta naturale per la celebrazione del Pi Greco.

Qual è più preciso, l’Approximation Day o il Pi Day?

Confrontiamo i valori associati alle due ricorrenze, con quello del Pi Greco:

Pi Greco = 3,14159...
Pi Day → 3,14000..., Errore = 0,00159...
Approximation Day → 22/7 = 3,142857..., Errore = 0,00127...

L’Approximation Day è quindi un po’ più preciso nell’approssimazione.
A favore del Pi Day gioca però il fatto che, lavorando sulle cifre di Pi Greco, si possono utilizzare quelle che seguono il 3,14 per indicare un orario. Escludendo 1,59… che indicherebbe poco più dell’ 1:30 del mattino, non proprio indicato per festeggiamenti matematici, si può optare per le 15,9…., vale a dire poco prima delle 16, che è perfetto.

Il formato delle date nel mondo

Wikipedia riporta la mappa dei vari formati utilizzati nel mondo, riportata anche qui sotto.

Il formato utilizzato in Italia è comune a parte dell’Europa, America centrale e del sud, Nuova Zelanda e altri Paesi.
Nel resto dell’Europa, ma anche in India e Russia, prevale il formato indicato in verde, in realtà insieme di due formati: il nostro stesso giorno-mese-anno, affiancato dal formato anno-mese-giorno.
Quest’ultimo formato ha un’utilità pratica negli ordinamenti crescenti o decrescenti. Il 22 luglio di quest’anno (20190722), ad esempio, viene prima del 13 ottobre (20191013) e questo lo si può verificare con immediatezza confrontando i relativi numeri rappresentativi della data. Il formato anno-mese-giorno è anche il solo formato utilizzato in Cina, dove presumo non si pongano il problema di celebrare il Pi Greco.

Manipolare i formati  delle date con un foglio di calcolo

Con Libre Office Calc o Excel, è possibile in maniera molto semplice e flessibile modificare la modalità di visualizzazione delle date.

Una data è rappresentata da un numero, che rappresenta il numero di giorni trascorsi dalla data convenzionale dello 0 Gennaio del 1900.
La parte frazionaria del numero rappresenta ore, minuti e secondi della data individuata dalla parte intera. Esempio:

22 luglio 2019 → 43668
22 luglio 2019 12:00:00 → 43668,5

Perché le 12 in punto rappresentano metà giornata trascorsa, cioè 0,5.

I formati

Una volta stabilito questo, si può giocare con la formattazione della cella contenente la data, per ottenere differenti visualizzazioni. In particolare:

G indica il valore numerico del giorno, espresso su una o due cifre (7, 8, 9, 10, 11, …)
GG è il valore numerico del  giorno, sempre espresso su due cifre (07, 08, 09, 10, 11, …)
GGG è il valore testuale del giorno della settimana, troncato a tre lettere (lun, mar, mer, …)
GGGG è il valore testuale esteso del giorno della settimana (lunedì, martedì, …)

M indica il valore numerico del mese, espresso su una o due cifre (7, 8, 9, 10, 11, …)
MM è il valore numerico del  mese, sempre espresso su due cifre (07, 08, 09, 10, 11, …)
MMM è il valore testuale del mese dell’anno, troncato a tre lettere (gen, feb, mar, …)
MMMM è il valore testuale esteso del mese dell’anno (gennaio, febbraio, …)

AA indica le ultime due cifre dell’anno
AAAA indica invece il valore esteso dell’anno

Qualche esempio, sempre basato sulla data del 22 Luglio del 2019:

GG/MM/AA → 22/07/19
GGGG G/M/AAAA → lunedì 22/7/2019
M.G → 7.22

Da notare, nel secondo formato, che si è rappresentato due volte il valore del giorno, visualizzandolo sia come giorno della settimana, per esteso, che come valore numerico.

Le migliori approssimazioni frazionarie a Pi Greco

Poche righe di programma in Ruby ci consentono di esplorare le migliori approssimazioni frazionarie a Pi Greco. Notare che si è inserito il limite di 50.000 come massimo valore del numeratore e posto a 1 il valore di partenza per la frazione approssimante.

# approssimazioni frazionarie al valore di Pi Greco
# by p.p. 18 luglio 2019
#
pi_greco = 3.141592653589
nmax = 50000
n = 1.0
d = 1.0
err_min = pi_greco - n/d
while n < nmax do
	err = pi_greco - (n/d).to_r
	if err.abs < err_min then
		print n.to_i,"/",d.to_i, ", errore = ",err, "\n"
		err_min = err.abs
	end	
	if err > 0 then
		n += 1
		else
		d += 1
	end
end

L’esito del programma

Ed ecco le migliori approssimazioni:

2/1, errore = 1.141592653589
3/1, errore = 0.14159265358899997
13/4, errore = -0.10840734641100003
16/5, errore = -0.058407346411000205
19/6, errore = -0.025074013077666546
22/7, errore = -0.001264489268142821
179/57, errore = 0.0012417763960175243
201/64, errore = 0.0009676535889999727
223/71, errore = 0.000747583166464949
245/78, errore = 0.000567012563359004
267/85, errore = 0.000416183000764736
289/92, errore = 0.00028830576291305476
311/99, errore = 0.0001785121748585361
333/106, errore = 8.321962673596417e-05
355/113, errore = -2.667649825482954e-07

La nostra 22/7 si difende bene, bisogna attendere 179/57 per fare meglio. Poco più avanti troviamo anche l’altra approssimazione trovata da Archimede, 223/71.
Ancora più robusta appare l’ultima approssimazione, 355/113, che regge fino a che il numeratore è minore di 50.000. A indicare per primo questa frazione fu il matematico, ingegnere e astronomo cinese Zu Chongzhi, circa 1600 anni fa.
La nuova migliore approssimazione è appena un po’ più in là di 50.000, ed è 52163/16604, con un errore appena di poco inferiore.


Non ho notizie di celebrazioni dell’Approximation Day in località che possa facilmente raggiungere. Vuol dire che Lunedì celebrerò in solitaria, con una buona lettura matematica!
Un suggerimento: Racconti matematici. Intrigante, da leggere tutto di un fiato.

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