Somma di quadrati, per movimentare un venerdì

Somma di quadrati, tre parole che fanno venire subito in mente Pitagora, con la sua “La somma dei quadrati costruiti sui cateti…”. A qualcuno verrà anche in mente Fermat e il famoso Ultimo teorema.
Venerdì scorso la somma di quadrati mi è ricomparsa nel settimanale appuntamento #FridayPuzzle, per un problema molto più semplice, lanciato da 10ticks su Twitter:

5525 si può scrivere come somma di due quadrati in sei modi diversi. Trovarne almeno tre.

Proviamoci!

Il FridayPuzzle

Sul #FridayPuzzle ho già scritto tempo fa. Qui basta ricordare che si tratta di un breve quesito di matematica ricreativa, proposto su Twitter ogni venerdì, più o meno a metà mattinata.
Il #FridayPuzzle è pensato per essere risolto in pochi minuti con matita, carta e calcoli a mente, ma ci vuole la scintilla. Che, ahimè, non è garantito arrivi sempre. Non ci sono premi particolari, tranne la pubblicazione del nome dei primi che hanno risposto correttamente. Sia le risposte che la premiazione non occupano naturalmente più di un tweet.

Il quesito dello scorso venerdì

Trovare tutti i possibili modi per esprimere 5525 come somma di due quadrati è relativamente semplice, se ci si aiuta con un pc.
Esempio, poche righe in Ruby risolvono la questione, più formalmente classificabile come equazione diofantea:

############################################
#
# 5525 can be written as the sum of two exact squares
# in six different ways
#
# by p.p. 8apr2020
#
############################################
n = 5525
	max = Math.sqrt(n/2.0).to_i
	print " searching from 1 to ", max, "\n"
	(1..max).each do |a|
		b = (Math.sqrt(n - a*a)).to_i
		if a*a + b*b == n then
			print a,"\t",b,"\n"
		end
	end

Anche un bel foglio di calcolo (Excel o LibreOffice Calc) consentirebbe di arrivare in pochi minuti alla soluzione.

Come si vede metà del programma è costituito dalla scenografica intestazione del listato. Nell’altra metà si delimita dove cercare i possibili numeri da elevare al quadrato (da 1 a max) e poi si procede per verifica esaustiva, un candidato alla volta. Nessun guizzo particolare, totale assenza di scintille, ma in pochi secondi il pc restituisce il risultato:

 searching from 1 to 52
7       74
14      73
22      71
25      70
41      62
50      55

L’output del risultato, dalla forma grezza ma essenziale, va letto come: la somma di quadrati di 7 e 74 è uguale a 5525,

E così via. Le possibili coppie sono quindi in effetti 6.

E la scintilla?

È forse esagerato ipotizzare scintille, forse più appropriato chiedersi più semplicemente come si potrebbe approcciare il problema senza l’aiuto del pc.
Le ultime due cifre di 5525 fanno sospettare che possa esistere una coppia della forma: x0² + y5² = 5525, in cui il primo numero termini cioè per 0 e il secondo per 5.

Esiste infatti una simpatica proprietà del quadrato dei numeri che terminano per 5. Prendiamo ad esempio 25. Si ha:

25² = (20 + 5)² = 20² + 2 × 20 × 5 + 5² = 20 × (20 + 10) + 5² = 2 × 3 × 100 + 25 = 625.

Quindi il valore di 25² può essere trovato semplicemente calcolando 2 × 3 = 6 e aggiungendo 25.
La regola vale in generale. Ad esempio 75² = 7 × 8 × 100 + 25 = 5625.

Applichiamo questa regola

Elenchiamo i quadrati dei numeri da 5 a 65, di dieci in dieci, con accanto la differenza rispetto a 5525:

5² = 25, 5500
15² = 225, 5900
25² = 625, 4900 = 70²
35² = 1225, 4300
45² = 2025, 3500
55² = 3025, 2500 = 50²
65² = 4225, 1300

In grassetto ho riportato le coppie che soddisfano il problema.

Trovare una terza soluzione è più difficile

Potrei barare e chiedermi se esista una soluzione vicino a una delle due appena trovate. In realtà so già che esiste la soluzione (22, 71), ma facciamo finta di non saperlo.

Una proprietà dei quadrati successivi

Qui può essere utile un’altra proprietà del calcolo. Osserviamo che:

(n+1)² = n² + (2n + 1)

Che si può leggere come: la differenza tra il quadrato di n e il quadrato del numero successivo è il numero dispari (2n + 1).

Questa proprietà è carina. Partendo da 1, che è il quadrato di se stesso, il successivo (4) si ottiene aggiungendo 3. Un passo ancora e si arriva a 9, aggiungendo il numero dispari successivo a 3, cioè 5. E così via: basta sommare via via i dispari.

Nel nostro caso, il quadrato del numero successivo a 70 si ottiene aggiungendo 2 × 70 + 1 = 141.
Ora 141 è multiplo di 3, quindi si può scrivere come somma di tre dispari consecutivi: 45 + 47 + 49. Bene, questi tre dispari sono quelli che sommati ci portano dal quadrato di 22 (2 × 22 + 1 = 45) a quello di 23, poi a quello di 24 e infine al quadrato di 25. Vale anche l’inverso: sottratti, ci portano dal quadrato di 25 al quadrato di 22.

Quindi 141, sommato a 70² ci porta a 71² e sottratto da 25² ci porta a 22². Ne segue che anche 22² + 71² = 5525. Ecco trovata la terza soluzione.
Certo, ho ragionato conoscendo già la soluzione, ma l’avevo scritto che stavo barando, no?

Metodo o fortuna?

Le prime due soluzioni le ho trovate però senza barare. Ma quanto è stato dovuto all’intuizione e quanto alla fortuna?
Con una piccola modifica al programma ho provato a risolvere il problema per altri valori inziali che, come 5525, terminano per 25. Ecco cosa ne viene fuori.

1525 as sum of squares: searching from 1 to 27
2       39
9       38
25      30
2525 as sum of squares: searching from 1 to 35
5       50
26      43
34      37
3525 as sum of squares: searching from 1 to 41
4525 as sum of squares: searching from 1 to 47
6       67
13      66
45      50
5525 as sum of squares: searching from 1 to 52
7       74
14      73
22      71
25      70
41      62
50      55
6525 as sum of squares: searching from 1 to 57
21      78
30      75
42      69
7525 as sum of squares: searching from 1 to 61
8525 as sum of squares: searching from 1 to 65
9525 as sum of squares: searching from 1 to 69

Quando c’è almeno una soluzione, allora almeno una è del tipo x0² + y5². Quindi l’intuizione, almeno quella, sembra che non fosse campata in aria.

Foto di apertura del post di Gerd Altmann da Pixabay.