1 20 33 400 505... come prosegue la sequenza?

Un whatsapp di qualche giorno fa dal mio amico Marco S. mi ha fatto scoprire una sequenza insolita e interessante:

Difficile, ma non impossibile: come prosegue questa sequenza? 1, 20, 33, 400, 505, 660, 777…?

Che fosse complicato venirne a capo mi era chiaro per due motivi. Il primo è che, in quanto a pensiero laterale, Marco e io siamo agli antipodi, nel senso che lui ce l’ha bello sviluppato, mentre a me manca. Ma se avessi dimenticato questa differenza, ecco che Marco me la ricorda con un aiutino:

Posso dirti che li definirei non numeri prodotti da numeri.
E che forse riflettere su questa definizione è la parte più interessante della cosa.

E allora, 1, 20, 33, 400, 505, 660, 777…, cosa c’è dietro?

Come si approccia un problema così

Scoprire la regola, l’algoritmo generatore di una sequenza non richiede capacità di programmazione o accesso a risorse di calcolo particolari, ma capacità di ipotizzare differenti scenari. Se la risposta non balza agli occhi da sé, procedo per trial and error, descrizione inglese di un metodo banale quanto intuitivo: ipotizza, prova e correggi, finché non risolvi.

In pratica: immagino una regola, la provo, guardo se è quella giusta. Se non lo è, cerco di modificare la regola ipotizzata, facendomi guidare dallo scostamento del risultato ottenuto, rispetto alla sequenza originale.

Inoltre può aiutare l’utilizzo di un foglio di calcolo (LibreOffice Calc o Excel), anche se non è cosa indispensabile. Se non altro così si hanno sottomano i vari tentativi effettuati.

Ultima spiaggia, una bella ricerca su Google.

Giochiamo con 1, 20, 33, 400, 505, 660, 777

Proviamo a mettere i numeri in colonna, accanto al numero progressivo nella sequenza, a partire da 1:

1	1
2	20
3	33
4	400
5	505
6	660
7	777

Si coglie subito che la prima cifra del numero in sequenza è uguale al progressivo, e che l’ultima cifra è alternativamente 0 per gli elementi che occupano posizioni pari e la ripetizione della prima cifra in quelli in posizione dispari.

Altra osservazione: c’è un salto tra il 3° e il 4° elemento (da 33 a 400), ma poi i numeri crescono più lentamente.

Ahimè, non mi viene in mente altro.

A questo punto chiediamo l’aiuto a Google

In genere una ricerca su Google restituisce tutto, e il gioco finisce. In questo caso non è così, ma un primo aiuto si trova: un piccolo allungamento della sequenza. Ora abbiamo i primi 11 elementi: 1 20 33 400 505 660 777 8000 9009 10100 11121.

Inseriamoli allora nella solita tabella:

1	1
2	20
3	33
4	400
5	505
6	660
7	777
8	8000
9	9009
10	10100
11	11121

Il numero comincia con il progressivo della sua posizione, anche quando questa passa a due cifre (10 e 11). Esempio: 10 –> 10100, 11 –> 11121.

Il finale del numero continua ad alternarsi tra 0 (elementi di posizione pari) e qualcosa che, con l’11, non è più semplicemente la ripetizione della prima cifra, ma qualcosa di più complesso.

Ultima osservazione, si osserva un secondo salto, nel passare dal 7° all’8° elemento. Qui avrebbe dovuto partire un segnale di attenzione: salti tra il 3° e il 4° elemento, e poi tra il 7° e l’8°. Non è che c’entri in qualche modo il sistema binario, visto che 4 e 8 sono potenze di 2?
Invece la mancanza di pensiero laterale che mi contraddistingue mi ha fatto ignorare il segnale, ed ho continuato a giocare con accostamenti, scorrimenti di cifre, il tutto senza alcun risultato.

Ritorniamo su Google

Ora, però, abbiamo una sequenza più lunga da cercare: 1 20 33 400 505 660 777 8000 9009 10100 11121.

Ecco che stavolta siamo fortunati, in una delle prime posizioni della ricerca si trova l’Enciclopedia on-line delle sequenze di interi (OEIS). La sequenza identificata con la sigla: A127906 snocciola proprio i numeri della nostra sequenza, per poi proseguire con 13200, 14313, 15540, 16665, 160000, …
Gli ultimi due numeri riportati sono il 15° e il 16° della sequenza, e anche qui c’è il salto, da 16.665 a 160.000.

Ma ormai non è più un mistero, la formula generatrice della sequenza è riportata nelle prime righe della pagine dell’OEIS:

a(n) = (n in base 10) * (n in base 2)

Il salto regolare, in corrispondenza delle potenze di 2, è dato proprio dal secondo fattore ((n in base 2), che aggiunge una cifra in corrispondenza di 2, 4, 8, 16, … Se si legge il numero come decimale, infatti, una cifra in più vuol dire un ordine di grandezza decimale in più.

Numeri o non numeri

Il punto critico nell’accettare come espressione matematica questa sequenza, seguendo il pensiero di Marco S., è proprio nel travisare il senso degli 0 e degli 1 della notazione decimale.
Il passaggio è tutto fuorché lineare, su questo si può essere pienamente d’accordo. Ma il concetto di funzione è abbastanza ecumenico da includere anche le stranezze. In fondo da numeri interi si ottengono numeri interi, con un processo completamente definito e senza ambiguità. Inoltre si tratta anche di una funzione reversibile:

7₁₀ = 111₂ –> 111₁₀

111₁₀ –> 111₂ = 7₁₀

Ben diversa, invece, era l’associazione che gli antichi Romani effettuavano tra numeri e lettere dell’alfabeto. L’esempio classico è nell’origine della fama di numero sfigato che si porta dietro, solo in Italia, il numero 17:

17 –> XVII –> VIXI –> “ero vivo, ma ora non più”

Qui il passaggio critico è nel trasformare per anagramma un numero (XVII) in parola (VIXI), uscendo dall’ambito matematico.

Davvero un bel gioco quello proposto da Marco S., anche se non sono riuscito a risolverlo. D’altronde, in queste faccende, il divertimento sta più nel viaggio che nella destinazione.

Immagine di apertura dell’articolo di Gerd Altmann da Pixabay.