Primel, la caccia ai numeri primi è aperta

Con Primel, gioco online molto simile a Wordle, ho aperto il mio 2023.
In cosa si distingue questo nuovo gioco? Semplice: mentre con Wordle si deve indovinare una parola del dizionario inglese, con Primel si va a caccia di un numero primo di 5 cifre.
Il gioco è ospitato sul sito di David Lawrence Miller, che di lavoro, sono sue parole, “count[s] animals and plants, using statistics and computers“. Con lo stesso spirito leggero, Miller definisce Primel “an extremely stupid Wordle clone, called Primel which asks you to guess a 5 digit prime number.“

Come funziona? E quali strategie di gioco si possono immaginare?

Le regole

Si hanno a disposizione sei tentativi per indovinare un numero primo di 5 cifre. Le cifre di ogni tentativo vengono colorate di verde (la cifra c’è, in questa posizione) oppure di giallo (la cifra c’è, ma non in questa posizione) o, infine, di grigio (cifra assente).
Ogni giorno viene proposto un primo diverso, quindi si può giocare al massimo una volta al giorno (come con Wordle).
Aspetto positivo: se si propone un numero non primo, il tentativo (evidentemente errato) non viene conteggiato come errore, è quindi relativamente facile azzeccare la risposta corretta nei sei tentativi a disposizione.

La strategia iniziale

Se con Wordle il problema è decidere con quale parola iniziare, con Primel il primo passo è cercare di indovinare le 5 cifre del numero. Da notare che possono esserci cifre ripetute.
In partenza mi affido a una semplice strategia, che mi mangia due tentativi: provo i due numeri primi 12347 e 86509, che contengono tutte e dieci le cifre decimali. L’esito di queste due prime mosse può essere:

il numero non ha ripetizioni e ho quindi tutte e 5 le cifre, alcune in giallo (c’è, ma non in questa posizione), altre in verde (c’è proprio in questa posizione);
il numero ha una ripetizione, quindi ho le 4 cifre di cui una sarà presente due volte;
il numero ha tre cifre distinte, quindi ci sarà una cifra presente tre volte o due presenti due volte;
il numero ha due cifre distinte; come gestire questo caso lo vedrò quando mi capiterà (!)

Primo caso: il numero non ha ripetizioni

Il primo di gennaio mi è capitato proprio questo caso.

È abbastanza semplice vedere come proseguire: la penultima posizione può essere occupata solo dal 2, quindi il primo da indovinare termina per 509, mentre nelle prime due posizioni vanno sistemati il 4 e lo 0, ovviamente in quest’ordine.

Secondo caso: il numero da indovinare ha una ripetizione

Il 4 gennaio mi è capitato un caso così:

In questo caso conosciamo 4 delle 5 cifre, di cui una utilizzata due volte, e la posizione esatta di una sola cifra.
Quale cifrà potrà essere ripetuta? Il primo da cercare non sarà evidentemente divisibile per 3. Ora, la somma delle 4 cifre note è: 1 + 2 + 3 + 5 = 11 = 2 mod 3, quindi si può escludere solo l’1 (la somma delle cifre farebbe 12 = 0 mod 3). Inoltre il 5 non può occupare l’ultima posizione.

Tenendo fermo il 2, occorre fare delle prove:

Evidentemente non è il 2 ad essere presente due volte. quindi sarà il 3 o il 5. Però ho qualche informazione in più: conosco la posizione esatta del 2 e posso escludere alcune posizioni per i numeri rimanenti. L’ultima cifra, poi, non potrà essere né 2 né 5, né 1, quindi dev’essere 3.
Provo a vedere se la cifra presente due volte sia il 5:

Esatto!

Terzo caso, ancora più difficile: due ripetizioni

Il 23 gennaio 2023, mi è capitata questa situazione:

Sono presenti solo tre cifre: 5, 6 e 9, la cui somma modulo 3 fa 2. Posso quindi escludere solo che le due cifre mancanti siano due 5 (la somma delle cifre sarebbe 30).
Tenendo fermo il 9, provo a verificare se le cifre da aggiungere sono il 6 e il 9:

Ok per il secondo 9, ma di 6 ce n’è uno solo, anche se adesso ne conosco la posizione.
L’ultima cifra da trovare potrebbe essere quindi un altro 9 oppure un 5. In seconda posizione non posso mettere un 5, quindi inserisco il 9. In quarta posizione non può andare un 9, quindi metto il 5 e, infine, in terza posizione non mi rimane che sistemare un 9:

Non è poi così difficile, si direbbe

Nel gioco non vengono conteggiati i tentativi errati per aver inserito un numero non primo. È un aiuto notevole, grazie anche a questo finora me la sono sempre cavata con 4 tentativi, qualche volta con 3.

Vedremo nel seguito.

La foto apertura è di Gerd Altmann da Pixabay.