Eugenia Cheng: il lato dolce della matematica

Eugenia Cheng al The Late Show with Stephen Colbert

Eugenia Cheng insegna matematica pura all’Università di Sheffield, ed è Scientist In Residence alla School of the Art Institute di Chicago.
Esperta di una branca molto particolare della matematica, la teoria delle categorie, è anche una brava pianista ed è in grado di sfornare ottimi dolci. Proprio facendo leva su queste due passioni, Eugenia Cheng cerca di combattere la diffusa fobia (o repulsione, refrattarietà, scegliete voi) verso la matematica.

Leggere il suo libro, Biscotti e radici quadrate, consente di guardare la matematica da una diversa e più divertente prospettiva. Diventa più semplice comprenderne i meccanismi fondamentali e, perché no, ci si porta a casa la ricetta di qualche buon dolce.

Chi è Eugenia Cheng?

Inglese di nascita, Eugenia Cheng ha ereditato dalla mamma l’interesse per la matematica e la dimestichezza con il linguaggio della logica.

Racconta che da studente riusciva malissimo in educazione fisica, e che nessun insegnante avrebbe puntato sulla sua riuscita nello sport. Idiosincrasia brillantemente superata, questa, arrivando a disputare delle maratone. Lo stesso tipo di difficoltà che tanti studenti trovano per la matematica.

Eppure, ragiona la Cheng, la matematica può essere resa comprensibile, basta utilizzare le analogie giuste. Ne ha dato una dimostrazione nella sua partecipazione al The Late Show with Stephen Colbert. Presentando l’edizione americana del suo libro, ha mostrato come il preparare una pasta millefoglie ci aiuti a comprendere il concetto matematico di crescita esponenziale.

Per inciso, l’originale titolo inglese del libro è “Cakes, Custard and Category Theory: Easy recipes for understanding complex maths“.
Per gli statunitensi è stato sdrammatizzato in: “How to Bake Pi: An Edible Exploration of the Mathematics of Mathematics“, giocando su pi-greco (pi) e torta (pie).
A noi è arrivato ancora più edibile come “Biscotti e radici quadrate. Lezioni di matematica e pasticceria“.

Estremamente comunicativa, la si può seguire in diversi video sul canale Youtube dell’Università di Sheffield. Da segnalare Come dividere perfettamente una torta, o il Perfetto bicchiere di vino, sul tema dei travasi trattato in questo post. Interessante seguire anche il suo intervento al TEDx di Vienna di un paio di anni fa su musica e matematica.

Il concetto di modello

Anche se non ho ancora provato, preparare la maionese non deve essere difficile, a leggere il libro di Eugenia Cheng.
Una volta predisposti gli ingredienti (2 tuorli d’uovo, 300 mL di olio di oliva, sale, pepe e succo di limone), basta seguire il procedimento:

sbattere i tuorli;
versare l’olio a filo;
alla fine aggiungere sale, pepe e limone.

N.B. La ricetta è descritta meglio nel libro, in apertura del capitolo 2, L’astrazione.

Cosa accadrebbe se, al posto dei 300 mL di olio d’oliva, si usassero 100 gr di burro, seguendo poi la stessa procedura descritta per la maionese? Si otterrebbe la salsa olandese.

Eugenia Cheng ci trasmette con questo esempio il concetto che un unico modello (la procedura di preparazione della salsa) può sottendere manifestazioni diverse. Dal punto di vista matematico, l’unicità del modello consente di considerare equivalenti le due manifestazioni.

Esempio: un triangolo equilatero ha simmetria assiale (non cambia se lo ruoto di 180° intorno all’altezza) e simmetria radiale (non cambia se ruotato di 120° intorno al centro, sia in senso orario che antiorario).
Se numero i vertici (1, 2, 3) e annoto le sequenze modificate dopo ognuna delle 2 x 3 = 6 rotazioni, ottengo tutte le possibili permutazioni della terna di numeri.

Permutazioni e rotazioni per simmetria si direbbero quindi due diverse manifestazioni di uno stesso modello, proprio come maionese e salsa olandese (moglie permettendo, a breve mi cimenterò nella preparazione).

Un altro tema serio: l’impacchettamento ottimale di sfere!

Torta senza farina e dimostrazione per assurdo

L’elegante dimostrazione del fatto, che la radice quadrata di 2 non può essere espressa come una frazione, si deve a Ippaso di Metaponto. Secondo la leggenda, aver rivelato la scoperta fuori dalla scuola Pitagorica gli costò la morte per affogamento al largo di Crotone.

Tralasciando per un attimo la leggenda, la dimostrazione dell’irrazionalità della radice di 2 procede per assurdo. Si assume che sia vero il contrario, cioè che la radice di 2 sia razionale, quindi esprimibile nella forma di frazione irriducibile a / b, con a e b interi e primi tra loro. Dopo qualche semplice passaggio si scopre che a e b devono essere entrambi pari, cosa che fa cadere l’assunzione iniziale.

Il metodo è elegante, ragiona Eugenia Cheng, ma sembra sterile: la dimostrazione non costruisce la strada per arrivare alla verità, ma distrugge quelle che porterebbero alla sua negazione.

Si potrebbe utilizzare lo stesso metodo per dimostrare che la farina è ingrediente indispensabile per una torta, procedendo cioè per assurdo: impastiamo cioccolato fondente, burro, uova, zucchero, acqua, vaniglia e vediamo cosa esce fuori.
Sorpresa, si ottiene un’ottima torta al cioccolato senza farina. Il nostro procedimento per assurdo è fallito, ma ci ha regalato un dolce inatteso.

Una vicenda simile ha portato alla scoperta delle geometrie non euclidee.

La Geometria di Euclide

Euclide basò la sua sistematizzazione della geometria su cinque assunzioni di base, o postulati:

tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta;
si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;
dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio;
tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro;
per un punto esterno ad una retta data, passa una e una sola parallela alla retta data.

I primi quattro lasciano pochi dubbi, sono intuitivi. Il quinto, invece, non lo è affatto.

Dalla torta al cioccolato senza farina alle geometrie non euclidee

Da Euclide in avanti si è cercato di capire se il quinto postulato fosse davvero indispensabile o meno. Nei suoi Elementi, lo stesso Euclide ha cercato di evitarlo anche a costo di complicare la dimostrazione degli enunciati ma, niente, in alcuni casi serve proprio quel benedetto quinto postulato.

E anche cercando versioni equivalenti che fossero più intuitive (qualcuno lo ricorderà come postulato delle parallele), la questione è rimasta lì a minare la solidità della costruzione di Euclide. Non rimaneva che provare a dimostrare che dipendesse dai primi quattro.

Idea! Procediamo per assurdo, assumendo che il quinto postulato sia falso (intanto siamo arrivati al 1700).

Il matematico gesuita Padre Giovanni Girolamo Saccheri elenca i tre scenari possibili, riconducibili a:

esistono infinite parallele alla retta data;
non esiste nessuna parallela alla retta data;
esiste una ed una sola parallela alla retta data (geometria euclidea).

Basterà quindi dimostrare che gli scenari 1 e 2 sono inconsistenti, per dimostrare la correttezza dell’unico rimasto.

Sorpresa: ci vorrà ancora un secolo, ma poi si arriverà alla torta senza farina, anzi a due torte:

geometria iperbolica (esistono infinite parallele alla retta data);
geometria ellittica (non esiste nessuna parallela alla retta data).

Dal fallimento del metodo per assurdo sono nate le geometrie non euclidee.

Una ricetta di cucina, come anche un lavoro a maglia, è equivalente a un programma informatico: sequenze di operazioni che, quando seguite fedelmente, garantiscono il risultato voluto.
“Biscotti e radici quadrate” di Eugenia Cheng ci offre una diversa e molto più interessante prospettiva. Utilizzando la metafora delle preparazioni dolciarie, aiuta ad aggirare le barriere che ci separano dalle idee base della matematica.
E nel tragitto, magari, si apprende anche qualche buona ricetta.