Gli enigmi di Dudeney

Il 10 di aprile si celebrano 166 anni dalla nascita di Henry Ernest Dudeney, fecondo creatore di enigmi logico-matematici, campo che condivise con l’americano Samuel Loyd.
Dove trovare gli enigmi di Dudeney? Una buona selezione si trova nel primo libro pubblicato dal geniale matematico britannico: The Canterbury Puzzles and other curious problems, dato alle stampe per la prima volta nel 1907.
Me ne trovo una copia in casa, allegato di un quotidiano e regalo di un amico. Proprio da questo volumetto estraggo due puzzle, con due diversi tagli: uno logico, uno matematico.

Enigmi di Dudeney: quando serve la logica

L’enigma n.ro 53 del libro pone un quesito riguardante tre tazze da tè.

Una giovane signora sistemò tre tazze da tè vuote sopra la tavola e sfidò chiunque a mettervi dentro dieci zollette di zucchero in modo che ogni tazza contenesse un numero dispari di zollette. Un giovane che aveva frequentato l’università di Oxford e studiava legge, dichiarò con una certa enfasi che, al di là di ogni dubbio, era impossibile farlo e si offrì di provarlo alla compagnia.

La soluzione invece c’è, anzi ne sono possibili ben 15. Alla base di tutte, però, c’è un trucco che richiede l’utilizzo del pensiero laterale. Soluzione al fondo dell’articolo!

Quasi cinque anni fa pubblicai un altro puzzle di Dudeney, riguardante un enigma ferroviario. Rimando a quell’articolo gli amanti dei puzzle logici da risolvere con rigorose deduzioni.

Enigmi di Dudeney: matematica a tutta birra

L’enigma n.ro 55 propone un problema di vendita di oche.

[…]
Il contadino Rouse mandò il suo uomo al mercato con uno stormo di oche, dicendogli che poteva venderli tutti o qualcuno, come meglio credeva, perché era sicuro che l’uomo sapeva come fare un buon affare. Questo è il rapporto che ha fatto Jabez […]
«Bene, prima di tutto ho venduto al signor Jasper Tyler metà del lotto e mezza oca; poi ho venduto al contadino Avent un terzo di ciò che restava e un terzo di un’oca in più; poi ho venduto alla vedova Foster un quarto di ciò che restava e tre quarti di un’oca in più; e mentre stavo tornando a casa, chi avrei incontrato se non Ned Collier: così abbiamo bevuto un boccale di sidro insieme al Barley Mow, dove gli ho venduto esattamente un quinto di quello che mi era rimasto, e gli ho dato un quinto di un’oca oltre per la signora.
Di questi diciannove che ho riportato non sono riuscito a sbarazzarmi a nessun prezzo.

Ora, quante oche ha mandato al mercato il contadino Rouse? I miei lettori possono essere sollevati nel sapere che nessuna oca è stata divisa o danneggiata durante la vendita.

La vendita di oche: la soluzione

Qui è relativamente facile vedere che il problema si risolve impostando un sistema di 4 equazioni in 4 incognite. Si tratta però di una strada relativamente complicata, con una discreta probabilità di commettere errori.
Conviene partire allora dall’ultima vendita e risalire fino alla prima, scoprendo così quante erano le oche in vendita.

L’ultima vendita

Partiamo a ritroso. All’ultima vendita, si arriva con x oche e ne rimangono 19:
x = x/5 + 1/5 + 19
Risolvendo, si ha: 5x = x + 1 + 95
da cui: 4x = 96 e, infine: x = 24.
Quindi sono state vendute 24 − 19 = 5 oche, che costituiscono 1/5 di 25 = 24 + 1, e cioè 1/5 delle oche disponibili, più 1/5 di oca, pur non avendo fatto del male a nessuna oca.

Un passo indietro

Facciamo un passo indietro, e vediamo come si è svolta la vendta alla vedova Foster.
Prima della vendita le oche erano y, e dopo sono diventate 24. Quindi:
y = y/4 + 3/4 + 24
Risolvendo si trova: 4y = y + 3 + 96
da cui: y = 99, quindi: y = 33.
Alla vedova Foster sono state quindi vendute 33−24 = 9 oche, cioè 1/4 di 36 = 33+3, vale a dire 1/4 delle oche disponibili, più 3/4 di oca. Anche qui, nessuna oca ha subito violenza nel passaggio di proprietà.

Tocca al signor Avent

Ripetiamo lo stesso ragionamento, con w che indica il numero di oche prima della vendita:
w = w/3 + 1/3 + 33
3w = w + 1 + 99
2w = 100
w = 50
Ad Avent sono state quindi vendute 50−33 = 17 oche, che rappresentano 1/3 di 51 = 50+1 oca, quindi 1/3 di 50 oche più 1/3 di oca. Ancora una volta, una frazione di oca (1/3) si è ricongiunta con la parte mancante (2/3), senza nessun taglio fisico.

La prima vendita

Eccoci infine al signor Tyler, il primo a cui sono state vendute delle oche.
Se il numero di oche iniziali era z, e al signor Tyler è stata venduta la metà delle oche più mezza oca, allora:
z = z/2 + 1/2 + 50
2z = z + 1 + 100
z = 101
A Tyler sono state quindi vendute 101−50 = 51 oche, corrispondenti alla metà di 102 = 101+1, e cioè alla metà delle oche iniziali, più mezza oca.

Conclusione

Le oche affidate da Rouse al suo uomo erano quindi 101. Ne sono state vendute 82=101−19, e nessuna oca ha subito violenza durante la vendita. Non sarei così sicuro che il futuro delle oche vendute sia stato così sereno, comunque.

E le tazze di tè?

La soluzione dell’enigma di apertura dell’articolo richiede una lettura non rigida delle condizioni iniziali. È infatti evidente che le 10 zollette non possano essere distribuite in numero dispari nelle tre tazze. Se ne mettessimo, ad esempio, 1 nella prima e 3 nella seconda, ne avanzerebbero 6 per la terza tazza.
Il trucco consiste nel sistemare una tazza, chiamiamola A, dentro un’altra tazza, che chiamerò B. La terza tazza, C, rimane da parte.
Ora, una zolletta nella tazza A è all’interno anche della tazza B. Questo trucco consente di aggiungere un numero dispari di zollette, il che consente di trovare non una ma addirittura 15 soluzioni. Eccole riassunte nella tabella che segue:

Tazza A	Tazza B	Tazza C
1	0	9
1	2	7
1	4	5
1	6	3
1	8	1
3	0	7
3	2	5
3	4	3
3	6	1
5	0	5
5	2	3
5	4	1
7	0	3
7	2	1
9	0	1

Le tazze A e C contengono un numero dispari di zollette, mentre nella B ci sono le rimanenti zollette, in numero evidentemente pari. La tazza B, però, contiene in realtà anche le zollette poste nella A, e quindi il problema è soddisfatto.

L’immagine di apertura è di PandaBearPhotographyWales da Pixabay