EGMO, le bacche e i Sette Nani

EGMO: European Girls' Mathematical Olympiad

Certamente tutti ricordano la favola di Biancaneve e i Sette Nani, ma chi non ha almeno un’esitazione nell’elencare i nomi di tutti e sette gli amici di Biancaneve? Solo pochi sapranno poi che, oltre a lavorare in miniera, Brontolo & co raccolgono bacche, e che il tema è stato oggetto di un problema proposto dall’EGMO nel 2013.

Se poi si aggiunge che i loro turni di lavoro sono organizzati in modo strambo ma rigorosamente logico, beh, allora urge approfondire la questione, approfittando di una singolare coincidenza: il tema del mese di Inchiostro Virtuale (fiori & piante) e l’EGMO 2018, ospitato proprio in questi giorni a Firenze.

Quali bacche raccolgano i sette nani, per me rimane un mistero.
Corniolo per saporite marmellate? Bacche di alloro per profumati saponi? Ginepro per distillati con cui animare le serate di sette scapoli impenitenti isolati nel bosco?
Oppure le mitiche bacche di Goji?
O forse ancora bacche di belladonna, per aiutare Arcimboldo nel primavera?
Ma soprattutto, che regole di turnazione si sono dati i sette nani e cos’è l’EGMO?

I sette nani, le bacche e l’Egmo

Tra i problemi del secondo giorno di gara, le 87 giovani ragazze partecipanti all’EGMO del 2013 si trovarono di fronte a questo:

Problema 6.
Biancaneve e i Sette Nani vivono nella loro casa nella foresta. Ogni giorno, per 16 giorni consecutivi, alcuni nani lavorano nella miniera di diamanti, mentre gli altri nani raccolgono bacche nella foresta. Nessun nano svolge entrambi i compiti in uno stesso giorno.
Comunque si scelgano due giorni (non necessariamente consecutivi), ci sono sempre almeno tre nani ognuno dei quali ha svolto entrambi i compiti nei due giorni scelti. Inoltre, il primo giorno, tutti e sette i nani hanno lavorato in miniera.
Dimostrare che, in uno dei 16 giorni, tutti e sette i nani hanno raccolto bacche.

La soluzione non è banale (nessun problema proposto nell’EGMO è facile!). Se, come me, gettate la spugna dopo qualche minuto di riflessione, potete dare un’occhiata qui, alla fine del pdf.

Cos’è l’EGMO

EGMO è l’acronimo di European Girls’ Mathematical Olympiad, l’annuale competizione di matematica riservata alle studentesse fino ai 20 anni di età.
La competizione si tiene in Europa, dal 2012. Giunta alla settima edizione, quest’anno tocca a Firenze ospitare la gara che dal 2013 si svolge in due giornate: tre problemi per giorno, 7 punti per la soluzione completa di ciascuno problema, per un totale quindi di 42 punti.
La correzione e l’attribuzione dei punteggi è trasparente e affidabile. Ogni risposta viene valutata separatamente da due differenti esperti. In caso di assegnazione di punteggi differenti, se i due valutatori non raggiungono un accordo anche dopo il ricorso al Problem Captain (ogni problema ha un esperto dedicato), l’ultima parola è riservata al responsabile dei correttori, il Chief Coordinator.

La cerimonia di premiazione delle vincitrici si svolgerà oggi, sabato 14 aprile, alle 17.
Incrociamo le dita per la squadra italiana!

La prima edizione dell’EGMO

Nel 2012 la prima edizione EGMO si svolge a a Cambridge (UK), con la partecipazione di 70 ragazze provenienti da 19 paesi, 16 dei quali europei. Mancano nazioni come Francia e Germania, ma l’Italia c’è e si posiziona quinta nella classifica generale. Questa prima edizione dell’EGMO è vinta dalla Polonia, con un oro e tre bronzi. Il medagliere italiano conta una medaglia d’oro (su 7), una d’argento (su 14), due di bronzo (su 21).

A portarsi a casa la medaglia d’oro, attribuita a chi realizza almeno 35 punti sui 56 a disposizione, sono (una ragazza a testa) Bulgaria, Polonia, Romania, Turchia e Italia. Due medaglie per gli Stati Uniti, a Danielle Wang e Victoria Xia. Forse l’immigrazione non è una cosa così malvagia.

La sfida è su 8 problemi in due giorni. L’ottavo problema è questo:

Problema 8.
Una parola è una sequenza finita di lettere di un qualche alfabeto. Una parola è detta ripetitiva se è formata dalla concatenazione di due o più sottoparole identiche (ad esempio, ababab e abcabc sono ripetitive, ma ababa e aabb non lo sono). Dimostrare che se una parola ha la proprietà che scambiando qualunque coppia di lettere adiacenti si ottiene una parola ripetitiva, allora tutte le lettere che la formano sono identiche.
(Si noti che è possibile scambiare due lettere adiacenti uguali, lasciando la parola invariata).

EGMO seconda edizione, si va in Lussemburgo

Nel 2013 l’EGMO è ospitato a Luxembourg City. Le nazioni partecipanti salgono a 22 (questa volta la Francia c’è), con 87 partecipanti. L’Italia partecipa con quattro ragazze. La nostra squadra si piazza nona, con un oro (su 10) e tre bronzi (su 19). Vince la Bielorussia con tre ori e un bronzo.

In questa seconda edizione si passa alla formula dei sei problemi in due giorni. A chiudere la terna del primo giorno (i Sette Nani arrivano il giorno dopo) è questo problema:

Problema 3.
Sia n un intero positivo.
(a) Dimostrare che esiste un insieme S di 6n interi positivi, tra loro distinti, tali che il minimo comune multiplo di due qualsiasi elementi di S non sia maggiore di 32n².
(b) Dimostrare che ogni insieme T di 6n interi positivi, tra loro distinti, contiene due elementi il cui minimo comune multiplo è maggiore di 9n²

Terza, quarta, quinta edizione dell’EGMO

Le tre edizioni dell’ EGMO dal 2014 al 2016 si tengono rispettivamente in Turchia, Bielorussia e Romania.
Nel 2014 ad Antalya vince l’Ucraina, e l’Italia si piazza settima su 29 nazioni partecipanti.
L’anno successivo, a Minsk, partecipano 30 nazioni. Vince ancora l’Ucraina, mentre l’Italia scivola al quattordicesimo posto.

Nel 2016, a Bușteni in Romania, tra i 39 paesi partecipanti prevale la Russia, mentre gli Stati Uniti si piazzano secondi. Le due medaglie d’oro statunitensi sono portate a casa da Meghal Gupta e Rachel Zhang. Anche in questo caso pura stirpe anglosassone.
L’Italia si piazza ventesima, con un argento e due bronzi.

Nel 2017 l’EGMO è a Zurigo

Le nazioni partecipanti salgono ancora, siamo a 44 con 168 partecipanti.
Questa volta la spuntano gli Stati Uniti, con quattro medaglie d’oro. L’Italia è diciannovesima, anche questa volta con un argento e due bronzi.

Il terzo dei problemi del primo giorno chiede:

Problema 3.
Sono date 2017 rette nel piano, a tre a tre non concorrenti. Una lumachina si trova inizialmente in un punto che appartiene a una sola delle rette e da lì inizia a strisciare lungo le rette nella maniera seguente: si muove su una data retta finché non raggiunge un’intersezione.
Arrivata all’intersezione, prosegue il suo viaggio sull’altra retta girando a sinistra o a destra, alternando la sua scelta ad ogni punto d’intersezione che incontra. I punti d’intersezione sono gli unici in cui la lumachina può cambiare direzione.
È possibile che vi sia un segmento che, nel corso del viaggio, la lumachina attraversa in entrambe le direzioni?

E quest’anno tocca a Firenze!

Sono 196 le concorrenti che si sono ritrovate lunedì scorso a Firenze, provenienti da 51 paesi, di cui ben 15 extra-europei.

Dei problemi di quest’anno mi ha intrigato il secondo problema del primo giorno:

Problema 2. Si consideri l’insieme A = {1 + 1 ⁄ k: k = 1, 2, 3, . . .}.
(a) Dimostrare che ogni intero x ≥ 2 può essere scritto come prodotto di uno o più elementi di A, non necessariamente distinti.
(b) Per ogni intero x ≥ 2, sia f(x) il minimo intero tale che x può essere scritto come prodotto di f(x) elementi di A, non necessariamente distinti.
Dimostrare che esistono infinite coppie di interi (x, y) con x ≥ 2 e y ≥ 2 tali che f(xy) < f(x) + f(y).
(Le coppie (x1, y1) e (x2, y2) sono diverse se e solo se x1 6= x2 o y1 6= y2.)

Un ragionamento per induzione

Quasi allo scadere delle quattro ore e mezza a disposizione delle concorrenti per tutti e tre i problemi, sono (forse) riuscito a dimostrare il primo punto del problema. A dimostrazione di quanto siano brave le partecipanti.
Si può ragionare per induzione, osservando che: n × ( 1 + 1 ⁄ n) = n + 1.
Quindi, partendo dal fatto che 2 = (1 + 1), a catena si può trovare l’espressione per 3, poi per 4 e così via, all’infinito.
L’espressione così trovata non è la più efficiente e compatta. Giocando un po’ con un foglio di calcolo (libre office o excel), si trova ad esempio che:

9 = ( 1 + 1 ⁄ 2)⁴ × ( 1 + 1 ⁄ 3)² , quindi con 6 termini,
mentre la dimostrazione per induzione porterebbe a 8 termini:
9 = ( 1 + 1) × ( 1 + 1 ⁄ 2) × ( 1 + 1 ⁄ 3) × ( 1 + 1 ⁄ 4) × ( 1 + 1 ⁄ 5) × ( 1 + 1 ⁄ 6) × ( 1 + 1 ⁄ 7) × ( 1 + 1 ⁄ 8)

Tanto di cappello alle ragazze dell’EGMO! E non dimenticate le bacche dei nani!