La congettura di Goldbach, in attesa di una dimostrazione dal 1742

La congettura di Goldbach, di congettura in congettura

Christian Goldbach e un semplice problema

È il 1742 quando il matematico prussiano Christian Goldbach propone al suo celebre collega svizzero Leonhard Euler (Eulero) questa congettura:

Ogni numero intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi.

A stretto giro di posta, Eulero replica con una congettura più forte e decisamente più bella:

Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.

Ed è questa di Eulero la formulazione che passa alla storia della matematica come Congettura forte di Goldbach. La versione di Goldbach viene indicata, invece, come congettura debole.
La bellezza della formulazione di Eulero sta nel contrasto tra la semplicità con cui la si enuncia e l’estrema difficoltà dei matematici a venirne a capo.

Cos’è una congettura

In matematica occorre distinguere tra verità provate e congetture. Un teorema è appunto una verità provata: si parte da affermazioni vere e a loro volta già provate (ipotesi), e si arriva all’affermazione finale (tesi) attraverso un ragionamento logico valido (dimostrazione).
Per inciso, una testimonianza di quanta ignoranza ci sia riguardo la matematica nel nostro paese viene fornita regolarmente da tanti politici, e dai giornali che ne riportano le affermazioni, quando, a proposito di accuse mosse nei loro confronti, parlano di teorema dei giudici. L’intento è di alludere a calunnie, tesi costruite sul nulla, ma, ahimé per loro, un teorema si poggia su basi solide di ipotesi e dimostrazione!

La congettura è invece una tesi con delle ipotesi valide ma alla ricerca di una rigorosa dimostrazione. Nell’attesa offre innumerevoli esempi che ne confermano la validità ma senza dare certezze conclusive: basterebbe un solo contro-esempio per smontarla.

Di esempi la congettura di Goldbach ne ha quanti se ne vuole:

8 = 3 + 5
14 = 3 + 13, ma anche 7 + 7
8000 = 7 + 7993, …, 3943 + 4057

Come si vede, la congettura ipotizza che esista almeno una coppia di primi che sommati danno il nostro numero pari di partenza, ma possono esistere anche più coppie di primi con questa proprietà.

Un semplice modo per visualizzare il senso della congettura

Vogliamo verificare la congettura, ad esempio, sul numero 14.
Scriviamo su un foglio (ok, anche excel va bene) i numeri da 0 a 14, marcando i numeri primi (2, 3, 5, 7, 11, 13). Ora, nella riga successiva, incolonniamo i numeri da 14 a 0, sempre marcando i primi.

Ogni coppia di numeri in verticale ha come somma 14 (0+14, 1+13, 2+12, …). Cerchiamo le coppie in cui entrambi i numeri sono marcati. Troviamo: 3 e 11, 7 e 7 e ancora 11 e 3.
Quindi 14 si può esprimere come somma di due primi in due modi diversi.

La congettura di Goldbach, se dimostrata, ci direbbe che, per qualunque numero pari, nel nostro schema ci sarà sempre una coppia di numeri marcati. Non è poco, se si pensa che la distribuzione dei numeri primi è qualcosa che sfugge alla nostra comprensione.

Cosa sappiamo dei numeri primi?

Il teorema fondamentale dei numeri primi, che afferma l’esistenza di infiniti numeri primi, si deve a Euclide e risale più o meno a 2.300 anni fa.
La dimostrazione è semplicissima e quindi di rara bellezza. Si ragiona per assurdo, assumendo che sia vero il contrario della tesi (i numeri primi sono infiniti) e sviluppando un ragionamento logico valido per arrivare a una contraddizione.
Assumiamo quindi che esista solo un numero limitato di numeri primi. Possiamo quindi moltiplicarli tra loro e aggiungere 1. Il numero così ottenuto, ovviamente non presente nella lista, non è divisibile per nessuno dei numeri primi iniziali (dà sempre resto 1), quindi o è primo (contraddizione) oppure è il prodotto di primi non presenti nella lista (altra contraddizione).
Siamo arrivati solo a contraddizioni, quindi l’assunto iniziale (esiste un numero limitato di numeri primi) è falso.

Un’analoga questione, quella dell’infinità dei numeri primi gemelli (coppia di primi che differiscono di 2) rimane invece a livello di congettura (collegata peraltro a quella di Goldbach). Il che dimostra come domande apparentemente simili possano avere risposte di difficoltà estremamente diversa.

Il successivo passo verso la comprensione del comportamento dei numeri primi arriva a fine ‘700, con Legendre e Gauss e una formula che dà una stima di quanti numeri primi esistano, minori di un numero dato. È la prima dimostrazione di un fatto sperimentalmente evidente: i numeri primi diventano più rari man mano che si esplorano i numeri naturali.

Ancora una sessantina d’anni, e nel 1859 si arriva all’Ipotesi di Riemann. Se confermata, come sembra fortemente probabile, ma ne manca ancora la dimostrazione, si avrebbero importanti conferme sulla distribuzione dei numeri primi.

Quanti esempi occorre trovare per dimostrare una congettura?

Tornando alla Congettura di Goldbach, grazie ai calcolatori elettronici sono stati esplorati ad oggi i numeri pari fino a 4.000.000.000.000.000.000, spezzandoli tutti in somma di due primi. Ma questo sforzo, durato ben otto anni, non dimostra ancora nulla; il contro-esempio, il numero pari che non si possa spezzare in due primi, potrebbe essere appena dietro l’angolo.

E una dimostrazione con tutti i crismi?

A tentare di dimostrare la Congettura di Goldbach si sono cimentati in tanti, sia per la versione forte che per quella debole.
Nel 2013 il matematico peruviano Harald Helfgott ha proposto una dimostrazione della congettura debole, che ad oggi è considerata corretta.
Siamo invece decisamente più distanti dalla méta per quanto riguarda la congettura forte. La situazione si può riassumere in questi risultati consolidati: ogni numero pari

si può scrivere come somma di al più 20 primi (1939)
si può scrivere come somma di al più 6 primi (1995)
se sufficientemente grande, si può scrivere come somma o di due primi, o di un primo e del prodotto di due primi (1966)

Insomma, c’è spazio per lavorarci.

Serve a qualcosa dimostrare la congettura di Goldbach?

Questa è l’inevitabile domanda che accompagna la matematica: cosa ci si guadagnerebbe, una volta che un eroico matematico riuscisse a domare la questione?
La risposta diretta, cruda e semplice è: nulla. Una volta che si avrà la certezza che la congettura è vera, oppure falsa, o indimostrabile (eh sì, c’è anche questa possibilità), la sfida si sposterà nel trovare una dimostrazione più semplice, oppure su altri temi.

E allora perché darsi tanta pena nel cercare una soluzione? Viene in mente la risposta di Mallory alla domanda: «Perché vuole scalare l’Everest?», «Perché è lì.».

Ma davvero queste ricerche non generano nessun beneficio? In realtà i benefici ci sono, anche quando non si arrivasse a chiudere la questione. Gli strumenti e i risultati generati lungo la scalata sono poi riutilizzati in altre ricerche, con un virtuoso effetto di contagio.

La congettura di Goldbach, fuori dalla matematica

Nella narrativa si trovano diverse citazioni della congettura.
Una celebre è quella di Isaac Asimov nel suo Sixty Million Trillion Combinations. Uno dei personaggi, il matematico Vladimir Pochik, ha il terrore che gli rubino il suo lavoro su Goldbach.
Le citazioni più famose sono però quelle dei libri Il teorema del pappagallo di Denis Guedj e Zio Petros e la congettura di Goldbach di Apostolos Doxiadis.

Per quanto riguarda il cinema, vanno ricordati il film di animazione La Bestia con un miliardo di schiene e l’angoscioso film spagnolo La habitación de Fermat: quattro matematici vengono attratti con un tranello e rinchiusi in una casa, le cui pareti si restringeranno progressivamente, se non risolveranno una serie di quiz matematici che gli vengono proposti.
Ovviamente c’è l’intreccio amoroso nel gruppo: Galois, per conquistare la bella Oliva (l’attrice Elena Ballesteros) ha dichiarato di aver risolto la Congettura di Goldbach, ma non è così. Sarà Hilbert ad offrire la soluzione, ma…
Se avete dimestichezza con lo spagnolo, il film completo è su youtube (almeno al momento in cui scrivo). Io aspetto la versione italiana.

Se l’articolo vi è piaciuto, leggete anche quelli dedicati alla congettura di Collatz e alle congetture di Erdős e Sierpiński.

Immagine di apertura da xkcd.com