Shortcut matematici, per un calcolo veloce

Shortcut è la parola inglese per scorciatoia. Math shortcut è quindi una scorciatoia che rende più semplici, o meno ardui, i calcoli matematici.
A proposito, perché si chiamano calcoli? La parola deriva dal latino calculus, cioè sasso, ghiaia, origine dovuta all’utilizzo di sassolini al posto delle cifre numeriche, ad esempio nell’àbaco a colonne. Insomma un antenato del pallottoliere, largamente diffuso in Estremo Oriente fino a non molti decenni fa.
Dopo aver visto le regole per eseguire calcoli con rigore, qui di seguito propongo qualche math shortcut che può tornare utile nella vita di oggi, o anche solo interessante dal punto di vista storico.

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Moltiplicazione a mente

C’è un trucco notissimo, facilmente applicabile al prodotto di numeri di due cifre, basato sul prodotto di due binomi. Esempio:

23 × 78 = (20 + 3) × (70 + 8) =
= 20 × 70 + 3 × 70 + 20 × 8 + 3 × 8 =
= 1400 + 210 + 160 + 24 =
= 1794.

Non è uno shortcut complicato, basta un moderato allenamento. Con un po’ di elasticità in più si può giocare anche con binomi con termini negativi:

23 × 78 = (20 + 3) × (80 – 2) =
= 20 × 80 + 3 × 80 – 20 × 2 – 3 × 2 =
= 1600 + 240 – 40 – 6 =
= 1794

Shortcut dall’antica Babilonia, come moltiplicare due numeri

Nell’antica Babilonia, posta nell’attuale Iraq 80 km a sud di Baghdad, si utilizzava un sofisticato sistema numerico in base 60. Tracce di questo sistema si trovano nel nostro sistema di misura del tempo (1 ora = 60 minuti, 1 minuto = 60 minuti secondi) e degli angoli (1° = 60′).
Per farsi un’idea, siamo intorno al 1900 a.C., Roma sarebbe stata fondata più o meno 1200 anni dopo.

I Babilonesi non avevano un algoritmo specifico per la moltiplicazione, ma ricorrevano al fatto che:

(a + b)² – (a – b)² =
= a² + 2ab + b² – a² + 2ab – b² =
= 4 a b

E utilizzavano tavolette di argilla in cui erano impresse tabelle di quadrati di numeri interi.
Per moltiplicare, ad esempio, 23 e 78, avrebbero operato così:

(78 + 23)² = 101² = 10201
(78 – 23)² = 55² = 3025
10201 – 3025 = 7176
7176 / 4 = 1794

E infatti 23 × 78 = 1794.

Quindi l’algoritmo di moltiplicazione babilonese prevedeva:

• un’addizione;
• una sottrazione;
• due consultazioni nelle tabelle dei quadrati;
• una sottrazione;
• due dimezzamenti successivi.

Più efficiente il nostro algoritmo, senza dubbio, ma per arrivarci bisognerà attendere il sistema decimale con le tabelline di agevole (?) memorizzazione. Quanto fa 7 × 9?

Il sistema sessagesimale

Perché i Babilonesi adottarono un sistema in base 60? In fondo dovrebbe essere più naturale concepire un sistema decimale, traendo origine dal numero (10) di dita che ci ritroviamo.
I Babilonesi erano, tra l’altro, grandi astronomi, ed avevano necessità di effettuare calcoli complicati, con numeri interi e frazionari. Ora, 60 ha un gran numero di divisori propri: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30. E, in un sistema di numerazione in base 60, la divisione per qualunque di questi numeri, o loro combinazione, produce un risultato finito e non periodico.
Se, quindi, nel sistema decimale, si ha:

7 / 3 = 2 + 1/3 = 2,3333 …,

in quello sessagesimale il valore della stessa frazione ha una forma finita:

7 / 3 = 2 + 1/3 = 2,(20),

dove con (20) si rappresenta la cifra sessagesimale per 20, perché 20/60 = 1/3.

Ma esiste anche il sistema dozzinale

Un vantaggio simile, appena più ridotto, si ha per la base 12, i cui divisori propri sono: 2, 3, 4, 6. Rispetto al sistema decimale, quindi, si perde il 5 ma si guadagnano 3, 4 e 6, il tutto con solo due simboli in più, per indicare il 10 e l’11.

Il sistema duodecimale (o dozzinale) ebbe un certo seguito agli inizi del ‘900, ma si arenò di fronte alla difficoltà di introduzione: si sarebbe dovuto cambiare monete (si pensi alle banconote da 12 €, 24 €, …), strumenti di misura (1 cm è 1/100 di metro!), oltre a mettere in crisi le abitudini radicate.

Non se ne fece nulla, anche se ancora oggi sopravvivono la Dozenal Society of America e la Dozenal Society of Great Britain.

Perché “dozzinale” e non “duodecimale“? Semplicemente per eliminare l’invisa radice “decimale“.
Gente stramba ma, a differenza di terrapiattisti e sciatori chimici, almeno è gente appoggiata su basi rigorosamente scientifiche.

L’orologio dozzinale dal sito della Dozenal Society of Great Britain rende bene l’idea della difficoltà che comporterebbe l’adozione di un nuovo sistema di numerazione.

Shorcut più attuale: il calcolo di una percentuale

Supponiamo di dover calcolare il 16% di 25. Il calcolo da effettuare è:

16 / 100 × 25 = 4.

Possiamo però modificare l’ordine dei termini, senza che cambi il risultato:

25 / 100 × 16 = 4,

quindi possiamo concludere che il 16% di 25 è pari al 25% di 16. Questo secondo calcolo è più semplice da effettuare, se si pensa che il 25% equivale a 1/4, e 1/4 di 16 fa 4.

Allo stesso modo, ad esempio, il 7% di 2500 sarà pari al 25% di 700, quindi a 700/4 = 350/2 = 175.

Trucco non utilizzabile a tappeto, ma che può tornare utile tenere a mente.

Shortcut finanziario: la regola del 72

Abbiamo messo da parte qualche risparmio, 10.000 €, investito all’interesse annuo costante del 2%. Dopo quanti anni il capitale depositato avrà raddoppiato il valore nominale iniziale, cioè varrà 20.000 € ?
La regola del 72 ci dice che ci vorranno circa:

72 / 2 = 36 anni.

In realtà ne basteranno 35, più qualche giorno.

Come si arriva a questa formula?
La formula dell’interesse composto ci dice che, dopo N periodi di impiego al tasso T, il capitale accumulato si è moltiplicato per un fattore pari a:

(1 + T)^N

Per avere un raddoppio, il numero di periodi dovrà essere tale da avere:

(1 + T)^N = 2

E, passando ai logaritmi naturali (base e):

ln(1 + T)^N = ln 2

N × ln(1 + T) = 0,693 (valore approssimato a 3 cifre decimali del logaritmo naturale di 2)

Se poi si approssima ln(1 + T) con T, la formula si riduce a:

N = 0,693 / T,

ovvero, esprimendo T come percentuale,

N = 69,3 / T

Ultimo passaggio, approssimare 69,3 con 72, che è un numero intero e ha molti più divisori propri rispetto a 69:

N = 72 / T

Scandalizzati per l’eccessiva approssimazione? In realtà delle tre approssimazioni effettuate, la prima è trascurabile, le altre due lavorano in direzioni opposte, e quindi in parte si compensano, consentendo così una stima del risultato semplice, veloce e ragionevolmente corretta. Spannometricamente parlando.

Calcolo della radice quadrata, chi ricorda di averlo studiato?

Sono abbastanza anziano da aver studiato alle medie l’algoritmo per l’estrazione della radice quadrata. Molto tempo dopo, ma comunque alcuni decenni fa, verso la fine degli anni ’80, le calcolatrici elettroniche sono diventate commodities, gadget regalati con i fustini di detersivo per lavatrici, e l’algoritmo è sparito dai programmi scolastici.

Dubito che oggi a qualcuno venga in mente di calcolare a mente una radice quadrata, basta uno smartphone o l’aiuto del motore di ricerca di Google. Il calcolo mentale di una radice quadrata potrebbe però servire per mettere in moto qualche sinapsi mentre si sta facendo qualcosa di ripetitivo, tipo guidare.
Non so se è comune ma, quando mi capita di guidare per diverse centinaia di chilometri di seguito, seguo due principi: fare una sosta ogni paio d’ore al massimo e calcolare mentalmente qualcosa mentre guido. La velocità media tenuta, ad esempio, oppure proiezioni dell’orario d’arrivo. E ogni tanto mi cimento anche con operazioni a caso, tipo l’estrazione di qualche radice quadrata.

Uno shortcut mentale per la radice quadrata

Supponiamo di voler calcolare un valore ragionevolmente approssimato per la radice quadrata di 69541. Il primo passo da effettuare è determinare quante cifre ha il risultato.
Osserviamo che la radice quadrata di 10^2N è 10^N. Quindi la radice di 1 seguito da, ad esempio 6 zeri, è pari a 1 seguito da 3 zeri. Ne segue che la radice di un numero appena più piccolo, di 6 cifre, avrà 3 cifre; quella di un numero appena più grande, quindi con 7 cifre, ne avrà 4.

Facile quindi stabilire la prima regola:

• dividere il numero di cui estrarre la radice quadrata, da destra a sinistra, in gruppi di due cifre;

• eventualmente il gruppo più a sinistra ne avrà una sola: 6-95-41;

• la radice del numero avrà tante cifre quanti sono i gruppi; nel nostro caso la radice avrà la forma xxx.

La cifra più significativa si può determinare approssimando per difetto la radice quadrata del primo gruppo di cifre; nel nostro caso, 6 è compreso tra 2² e 3², quindi la prima cifra è 2, la radice avrà la forma 2xx, e la prima approssimazione (per difetto) della radice sarà 200.

Si può fare di meglio!

Isoliamo i primi due gruppi: 695.
A mente è facile calcolare 25² = 625 (c’è un trucco anche per questo, lo vediamo appena dopo). Proseguendo:

26² = (25 + 1)² = 625 + 50 + 1 = 676. Ancora poco.
27² = (25 + 2)² = 625 + 100 + 4 = 729. Troppo. Un valore approssimato per difetto sarà allora 260.

Per avvicinarsi ancora di più al risultato, si può ricorrere all’approssimazione della radice quadrata di 1 + x:

radq(1 + x) ≅ 1 + x/2

Ottenuta troncando lo sviluppo in serie della funzione radq(1 + x) ai primi due termini.

Allora:

radq(69541) ≅ radq(67600 + 2000) =
= 260 radq(1 + 2000/67600) =
= 260 radq (1 + 20/676) ≅
≅ 260 (1 + 10/676) ≅
≅ 260 (1 + 0,015) =
= 260 + 3,9 = 263,9 (perché 260 × 0,015 = 2,6 × 1,5 = 3,9),

non molto distante dal risultato di 263,706…

Shortcut finale

Appena più su ho affermato che è semplice calcolare a mente il quadrato di un numero che termina per 5.
Se indichiamo con x il numero rappresentato dalle cifre che precedono 5, indicando il nostro numero con ‘x5’, basta osservare che:

‘x5’² = (10 x + 5)² =
= 100 x² + 100 x + 25  =
= 100 x  (x+1) + 25.

La regola è quindi:

• togliamo il 5 finale;
• moltiplichiamo quello che resta per il suo successivo;
• aggiungiamo 25 di seguito.

Esempi:

25² = 625    (2 × 3 = 6);
85² = 7225   (8 × 9 = 72);
125² = 15625   (12 × 13 = 156).

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A chi ha avuto la pazienza di seguirmi fin qui, auguro di giocare con qualcuno degli shortcut mostrati, per calcoli mentali più rilassanti e gratificanti, in questa calda estate.