Frazioni egizie: quando la matematica era davvero complicata

Frazioni egizie è il termine generalmente utilizzato per indicare le frazioni unitarie, quelle cioè con numeratore pari a 1. Esempio: 1/3, 1/12, 1/331 sono tutte frazioni egizie. Da dove deriva questo nome?

La matematica sviluppata dagli Egizi aveva finalità pratiche, quali la contabilità, la ripartizione e lo scambio di beni. Da qui lo sviluppo del concetto di frazionamento (esempio: dividere una quantità in 7 parti uguali). Gli Egizi non arrivarono invece a una notazione compatta per il raggruppamento di frazioni unitarie (esempio: 4/7). Di conseguenza le loro procedure di calcolo con termini frazionari erano decisamente complicate.

Alle frazioni egizie è legata una congettura, non ancora risolta in teorema, proposta nel 1950 dal matematico ungherese Paul Erdős: ogni frazione del tipo 4/n può essere espressa come somma di non più di tre frazioni unitarie. La congettura fu estesa alle frazioni del tipo 5/n da Sierpiński nel 1956.
Non ancora dimostrata o confutata, la congettura di Erdős è stata verificata per valori del denominatore n minori di 10¹⁴.

---

Frazioni egizie: un po’ di storia

Il papiro di Rhind fornisce le basi per intuire la matematica delle frazioni utilizzata dagli Egizi.
Acquistato dall’antiquario scozzese Henry Rhind nel 1858 a Luxor, per poi essere rivenduto al British Museum, il papiro contiene, tra l’altro, una tabella di sviluppo del doppio di frazioni unitarie in somma di frazioni unitarie.
Qual è lo scopo?
Immaginiamo di voler ottenere l’espressione in frazioni unitarie (FU) di tre parti su cinque. Per noi basta scrivere 3/5, ma gli Egizi dovevano partire da 1/5 + 1/5 + 1/5.
Il passo successivo consisteva nell’eliminare l’occorrenza di FU uguali tra loro. Se il denominatore fosse stato pari (esempio 3/8), allora lo scriba avrebbe semplicemente proceduto così:

1/8 + 1/8 = 1/4

Nel caso di denominatore dispari, gli Egizi utilizzavano invece un risultato che oggi esprimiamo così:

1/n + 1/n = 2/(n+1) + 2/(n(n+1))

Nel nostro caso:

1/5 + 1/5 = 2/6 + 2/30 = 1/3 + 1/15

Quindi:

tre parti su cinque = 1/3 + 1/5 + 1/15

Immaginate l’incubo vissuto dallo scriba per semplificare frazioni più complicate, come 11 parti su 25. O anche per calcolare: tre parti su cinque + quattro parti su sette.

L’algoritmo egizio nella pratica

Immaginiamo di dover dividere 3 torte tra 5 ragazzi. Una mamma matematicamente consapevole saprebbe già che ogni ragazzo deve ricevere 3/5 di torta, quindi potrebbe procedere così:

1. con tre tagli separa ogni torta in due porzioni, una da 3/5 e l’altra da 2/5, e con le porzioni più grandi sistema i primi 3 ragazzi;
2. delle 3 porzioni rimaste, ne divide una in 2 parti, ciascuna pari a 1/5 di torta, e dà a ciascuno dei due ragazzi rimasti un pezzo da 2/5 e uno da 1/5.

Quindi le torte sono state suddivise in 7 porzioni: 3 ragazzi hanno ricevuto una porzione da 3/5 e 2 ragazzi due porzioni, rispettivamente da 2/5 e 1/5.
Benché matematicamente consapevoli anche loro, è possibile che nei ragazzi possa insinuarsi il dubbio sulla correttezza dei tagli (avrà misurato giusto la mamma? E perché a me due pezzi piccoli, invece di uno grande?).

La mamma moderna potrebbe allora pragmaticamente dividere ogni torta in 5 pezzi, e dividere poi le 15 porzioni tra i cinque ragazzi, tre a testa. Producendo una marea di briciole.

Una mamma antica egizia avrebbe invece fatto così:

1. dividendo ciascuna delle 3 torte in due parti uguali, ottenendo quindi 6 porzioni, avrebbe potuto cominciare a distribuirne una a testa ai 5 ragazzi;
2. avrebbe poi diviso la porzione rimasta in 5 parti, ricavando 5 porzioni da 1/10 di torta; uno a testa e la divisione è completata.

Alla fine, quindi, le torte sarebbero state divise in un totale di 10 porzioni, e ogni ragazzo ne avrebbe ricevuto due: 1/2 + 1/10. Non male il metodo egizio, vero?

La scomposizione in frazioni egizie

L’algoritmo più semplice di scomposizione in FU è del tipo greedy, cioè goloso, avido.
Si tratta di staccare ogni volta il boccone più grande possibile, vale a dire, partendo dalla frazione iniziale, sottrarre via via la FU con il maggior valore possibile, senza rendere negativo il risultato.

Esempio, scomposizione di 3/7:
primo passaggio, 1/2 sarebbe troppo, 1/3 va bene: 3/7 – 1/3 = 2/21
secondo passaggio, 1/10 è troppo, 1/11 va bene: 2/21 – 1/11 = 1/232
Quindi: 3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/232

Si può facilmente dimostrare che l’algoritmo greedy produce una scomposizione in un numero di FU non maggiore del denominatore della frazione, nel nostro caso 3. E infatti abbiamo ottenuto proprio tre frazioni unitarie.

È l’unica scomposizione possibile? In effetti no, ce ne sono diverse:

3/7 =

a. [(1/3), (1/11), (1/231)]
b. [(1/3), (1/12), (1/84)]
c. [(1/3), (1/14), (1/42)]
d. [(1/3), (1/15), (1/35)]
e. [(1/4), (1/6), (1/84)]
f. [(1/4), (1/7), (1/28)]

Evidenziata in grassetto la scomposizione a., ottenuta con il greedy. La sua caratteristica deriva dall’avidità dei morsi, il boccone più piccolo è proprio piccolo (1/231).
L’ultima scomposizione è quella più equilibrata: 3/7 = 1/4 + 1/7 + 1/28.

In realtà di sviluppi ce ne sono infiniti altri, tutti più lunghi di 3 FU.
Basta osservare che:

1/n = 1/n+1) + 1/(n(n+1))

Quindi si può allungare quando si vuole una scomposizione, sostituendo l’ultimo termine con due più piccoli. Esempio:

da 3/7 = 1/4 + 1/7 + 1/28, si ottiene:
3/7 = 1/4 + 1/7 + 1/29 + 1/812
(poiché 812 = 28 * 29)

Le congetture di Erdős e Sierpiński

Per una frazione del tipo 4/n sarà quindi sempre possibile trovare almeno una scomposizione non più lunga di 4 frazioni unitarie.
Il geniale matematico ungherese Paul Erdős (se ne è scritto qui), congetturò che è sempre possibile ottenere una scomposizione al massimo in tre frazioni egizie.
Qualche anno più tardi, il matematico polacco Wacław Sierpiński congetturò che lo stesso vale per una frazione del tipo 5/n.

La bellezza di problemi di questo tipo è che basta la matematica scolastica unita a un po’ di ragionamenti sensati per sentirsi in gara per trovare una soluzione. Ma poi, niente, la soluzione rimane ben nascosta.

Il primo ragionamento che si può fare è quello di sfoltire i numeri da testare come denominatore.

Basta guardare i numeri primi

Se il denominatore è un numero composto, basta ragionare così: se la congettura vale per la frazione 4/p, dove p è un fattore primo del denominatore, allora vale anche per il denominatore stesso.
Esempio: 4/105 (dove 105 = 3 * 5 * 7):

4 / 7 = 1/2 + 1/14, quindi:
4/105 = 4/(7*15) = 1/30 + 1/210

Bene! Se basta ragionare solo per i casi in cui il denominatore è un numero primo, si è sfoltito decisamente il campo!

Ora eliminiamo la metà dei numeri primi

Un numeri primo maggiore di 3 può essere solo della forma 6k – 1 oppure 6k + 1.
Infatti deve essere dispari (quindi diviso per 6 deve dare un resto dispari) e non può dare resto 3, altrimenti sarebbe multiplo di 3. Rimangono come resti possibili solo 1 e 5.
Nel primo caso, sarà della forma 6k +1. Nel secondo della forma 6k + 5, che si può scrivere anche come 6(k+1) – 1.

---

Una divertente conseguenza di questo semplice ragionamento è che il prodotto di due numeri primi gemelli, aumentato di 1 è un quadrato perfetto.
Ricordando, infatti, che due numeri primi gemelli sono dispari consecutivi, si osserva che possono essere solo della forma 6k – 1 e 6k + 1, perciò il loro prodotto sarà uguale a 36k² – 1, che aumentato di 1 sarà quindi della forma (6k)².

Esempio, presi i due numeri primi gemelli 11 e 13, si ha:
11 * 13 + 1 = 144 = 12²

---

Tornando alla nostra congettura, vediamo come si  può ragionare sulle frazioni del tipo 4 / (6k – 1).

Si può certamente sottrarre la frazione 1/2k, lasciando come resto la frazione: (2k + 1) / (2k(6k-1)), che può essere separata in due frazioni:  2k / (2k(6k-1)) e 1 / (2k(6k-1)). Dopo aver semplificato la prima, si ottiene:

4 / (6k – 1) = 1/2k + 1 / (6k-1) + 1 / (2k(6k-1))

che è la formula generale per la scomposizione in 3 frazioni egizie. Quindi la congettura è dimostrata per metà dei numeri primi!

Ma la strada non si è accorciata

Pur rimasti con metà dei numeri primi da analizzare, non è che siamo andati molto lontani, ne rimangono ancora infiniti.
Con un ragionamento simile a quello effettuato per i primi della forma 6k – 1, che lascia da esaminare quelli della forma 6k + 1, si può restringere il campo ai primi della forma 12k + 1, poi a quelli della forma 24k + 1. Le espressioni si fanno via via più complicate, e di fatto non ci si avvicina alla soluzione completa.

---

Questo tipo di approccio torna invece utile se si vuole verificare la correttezza della congettura per tutti i denominatori primi entro un certo campo. Meno numeri sono da esaminare, meno lavoro dovrà effettuare il nostro programma. Ad oggi la congettura è verificata per i denominatori minori di 10¹⁴.